• 用梯度下降算法极大化对数似然函数来估计参数


    关注 码龄 粉丝数 原力等级 -- 被采纳 被点赞 采纳率 m0_69321653 2024-04-16 17:44 采纳率: 0% 浏览 8 首页/ 人工智能 / 用梯度下降算法极大化对数似然函数来估计参数 机器学习数据挖掘 若用梯度下降算法极大化对数似然函数来估计参数,学习率(步长)为a,请给出参数的更新迭代公式。 收起 写回答 好问题 0 提建议 追加酬金 关注问题 微信扫一扫 点击复制链接 分享 邀请回答 编辑 收藏 删除 结题 收藏 举报 追加酬金 (90%的用户在追加酬金后获得了解决方案) 当前问题酬金 ¥ 0 (可追加 ¥500) ¥ 15¥ 20¥ 50¥ 100¥ 200 支付方式 扫码支付 二维码出错 点击刷新 支付金额 15 元 提供问题酬金的用户不参与问题酬金结算和分配 支付即为同意 《付费问题酬金结算规则》 结题 再想想 删除 再等等

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    • 专家-赤兔[在线] 全栈领域优质创作者 2024-04-16 17:44
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      引自免费微信小程序:皆我百晓生

      在最大化逻辑回归的对数似然函数时,我们首先定义对数似然函数 (L(B)),然后通过梯度上升法找到使 (L(B)) 最大的参数 (B)。根据给定的对数似然函数:

      [ L(B) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [y_i B^T x_i - \ln(1 + e^{B^T x_i})] ]

      梯度上升法的目的是增加 (L(B)),因此我们需要计算 (L(B)) 关于 (B) 的梯度,并沿这个方向更新 (B)。梯度表示了函数增长最快的方向。对于 (L(B)),其关于 (B) 的梯度是每个分量的偏导数构成的向量,即:

      [ \nabla_B L(B) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [y_i x_i - \frac{e^{B^T x_i}}{1 + e^{B^T x_i}} x_i] ]

      接下来,我们可以使用梯度上升法的更新规则进行迭代,其中 (a) 是学习率(步长):

      [ B_{t+1} = B_t + a \cdot \nabla_B L(B_t) ]

      将梯度表达式代入上述迭代公式,得到具体的参数更新迭代公式:

      [ B_{t+1} = B_t + a \cdot \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [y_i x_i - \frac{e^{B_t^T x_i}}{1 + e^{B_t^T x_i}} x_i]\right) ]

      下面是 Python 代码实现这一过程:

      import numpy as np
      
      def log_likelihood_gradient(B, X, y):
          # 计算对数似然函数的梯度
          exp_scores = np.exp(np.dot(X, B))
          probabilities = exp_scores / (1 + exp_scores)
          gradient = np.dot((y - probabilities).T, X) / len(y)
          return gradient
      
      def gradient_ascent(B_init, X, y, learning_rate, num_iterations):
          B = B_init
          for _ in range(num_iterations):
              gradient = log_likelihood_gradient(B, X, y)
              B += learning_rate * gradient
          return B
      
      # 假设你已经有了数据 X 和标签 y,以及初始参数 B_init,学习率 learning_rate 和迭代次数 num_iterations
      B_init = np.zeros(X.shape[1])  # 初始化参数
      learning_rate = 0.01  # 学习率
      num_iterations = 1000  # 迭代次数
      B_optimized = gradient_ascent(B_init, X, y, learning_rate, num_iterations)
      
      print("Optimized parameters: ", B_optimized)
      

      这段代码定义了一个 gradient_ascent 函数,用于执行梯度上升过程并返回优化后的参数。你需要提供训练数据矩阵 X、标签向量 y、初始参数 B_init、学习率 learning_rate 和迭代次数 num_iterations

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    • Kwan的解忧杂货铺 Java领域优质创作者 2024-04-16 17:44
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      下午好🌅🌅🌅
      本答案参考ChatGPT-3.5

      更新迭代公式是梯度下降算法求解参数的关键。梯度下降算法通过不断的迭代,逐渐接近极值点,即最优解。

      解决方案:

      1. 首先,需要计算对数似然函数的梯度,即对参数求偏导数。
      2. 然后,根据梯度下降算法的原理,每次更新参数时需要沿着梯度的反方向移动一定的距离,这个距离就是学习率$a$。
      3. 最后,根据更新的参数值,再次计算对数似然函数的梯度,并重复上述步骤,直到达到预先设定的停止条件。

      因此,使用梯度下降算法极大化对数似然函数来估计参数的更新迭代公式为:

      $\theta_{new} = \theta_{old} + a\cdot \nabla\log L(\theta)$

      其中,$\theta$是要求解的参数向量,$\theta_{old}$和$\theta_{new}$分别表示迭代前的旧参数向量和迭代后的新参数向量,$\nabla\log L(\theta)$是对数似然函数的梯度,$a$是学习率,控制更新的步长大小。

      如果对数似然函数是二项逻辑回归,则梯度为:

      $\nabla\log L(\theta) = \sum_i(y_i-\sigma(\theta^Tx_i))x_i$

      其中,$y_i$是第$i$个样本的标签(0或1),$x_i$是第$i$个样本的特征向量,$\sigma(z)$表示逻辑回归的sigmoid函数,$\theta^T x_i$表示模型对样本$x_i$的预测值。

      修改后的代码如下所示:

      def logistic_regression(X, y, a, iterations):
          # 初始化参数向量
          theta = np.zeros(X.shape[1])
          # 迭代更新参数
          for i in range(iterations):
              # 计算梯度
              gradient = np.dot((y - sigmoid(np.dot(X, theta))), X)
              # 更新参数
              theta += a * gradient
          return theta
      

      其中,$X$是样本特征矩阵,$y$是标签向量,$a$是学习率,$iterations$是迭代次数。函数中的$sigmoid$函数表示逻辑回归的sigmoid函数,用于计算模型预测值。

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    • GISer Liu 2024-04-16 18:02
      关注

      该回答引用自GPT-3.5,由博主GISer Liu编写:

      首先,我们来分析问题。题目要求使用梯度下降算法极大化对数似然函数来估计参数,并给出参数的更新迭代公式。这里我们可以采用梯度上升法,因为极大化对数似然函数等价于极小化负对数似然函数,所以我们要最小化的是负对数似然函数。
      对于参数更新迭代公式,我们需要根据梯度下降算法的原理来推导。梯度下降算法的核心思想是沿着负梯度方向更新参数,以使目标函数值逐渐减小。在每次迭代中,参数更新的大小由学习率(步长)控制。
      下面给出参数更新的迭代公式: θt+1=θt+a⋅∇θJ(θ)\theta_{t+1} = \theta_{t} + a \cdot
      \nabla_{\theta} J(\theta)θt+1​=θt​+a⋅∇θ​J(θ) 其中,θ\thetaθ 表示参数向量,aaa
      表示学习率(步长),J(θ)J(\theta)J(θ) 表示要最小化的目标函数(这里是负对数似然函数),∇θJ(θ)\nabla_{\theta}
      J(\theta)∇θ​J(θ) 表示目标函数关于参数向量的梯度。
      接下来,我们需要计算负对数似然函数关于参数的梯度。根据具体的问题和模型,梯度的计算方式会有所不同。在实际应用中,可以根据问题的具体情况,手动计算梯度或利用自动微分工具来计算。
      最后,将计算得到的梯度代入参数更新迭代公式中,就可以得到每次迭代中参数的更新值,从而使用梯度下降算法来估计参数。
      希望这个解决思路对你有所帮助。

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    • CSDN-Ada助手 CSDN-AI 官方账号 2024-04-16 20:26
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  • 原文地址:https://ask.csdn.net/questions/8089492