下午好🌅🌅🌅
本答案参考ChatGPT-3.5
问题解答：
- 描述简化阶梯形矩阵的四个分块矩阵
我们可以看到矩阵R是一个2×2的块矩阵，即：
R = [ A B ; C D ]
其中，A、B、C、D是矩阵块。设A为m×m的方阵，B为m×r的矩阵，C为(n-m)×m的矩阵，D为(n-m)×r的矩阵。
则，R的简化阶梯形矩阵可表示为：
[ I_m O_{m \times r} ; 0 O_{(n-m) \times r} ]
其中，I_m为m阶单位矩阵，O为对应零矩阵。这个形式就是R经过了初等（高斯）变换后达到的矩阵形式。其中I_m称为主矩阵，O_{m \times r} 称为零块矩阵。
- 求包含特殊解的零空间矩阵N
零空间矩阵N可以表示出矩阵R的特殊解（自由变量）的线性组合。而根据矩阵R的简化阶梯形式，可以发现：
[ I_m O_{m \times r} ; 0 O_{(n-m) \times r} ] [ x ; y ] = [ 0 ; 0 ]
使用简化阶梯形R所对应的初等变换，可以构造出N：
N = [ -B ; I_{n-m} ]
其中，-B为m×r的矩阵，I_{n-m}为(n-m)阶单位矩阵。这就是包含特殊解的零空间矩阵N。
代码实现：
假设A、B、C、D为已经有的矩阵，可以使用以下Python代码实现：
import numpy as np
m, r = B.shape n = A.shape[0] + C.shape[0]
N = np.vstack((-B, np.eye(n-m, r)))
验证是否是特殊解
x = np.random.randn(r) y = -np.dot(np.linalg.inv(A), np.dot(B, x)) np.testing.assert_allclose(np.dot(N, np.hstack((x, y))), np.zeros(n))
