一文理解深度学习框架中的InstanceNorm

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梯度推导过程详解

在开始推导梯度公式之前，首先约定输入，参数，输出等符号：

• 输入张量 ， 形状为(N, C, H, W)，rehape 为 (1, N * C, M) 其中 M=H*W

• 参数 ，形状为 (1, C, 1, 1)，每个通道值对应 N*M 个输入，在计算的时候首先通过在第0维 repeat N 次再 reshape 成 (1, N*C, 1, 1)

• 参数 ，形状为 (1, C, 1, 1)，每个通道值对应 N*M 个输入，在计算的时候首先通过在第0维 repeat N 次再 reshape 成 (1, N*C, 1, 1)

而输入张量 reshape 成 (1, N * C, M)之后，每个通道上是一个长度为 M 的向量，这些向量之间的计算是不像干的，每个向量计算自己的 normalize 结果。所以求导也是各自独立。因此下面的均值、方差符号约定和求导也只关注于其中一个向量，其他通道上的向量计算都是一样的。

• 一个向量上的均值 

• 一个向量上的方差 

• 一个向量上一个点的 normalize 中间输出 

• 一个向量上一个点的 normalize 最终输出 ，其中  和  表示这个向量所对应的 gamma 和 beta 参数的通道值。

• loss 函数的符号约定为 

gamma 和 beta 参数梯度的推导

先计算简单的部分，求 loss 对  和  的偏导：

其中  表示 gamma 和 beta 参数的第  个通道参与了哪些 batch 上向量的 normalize 计算。

因为 gamma 和 beta 上的每个通道的参数都参与了 N 个 batch 上 M 个元素 normalize 的计算，所以对每个通道进行求导的时候，需要把所有涉及到的位置的梯度都累加在一起。

对于  在具体实现的时候，就是对应输出梯度的值，也就是从上一层回传回来的梯度值。

输入梯度的推导

对输入梯度的求导是最复杂的，下面的推导都是求 loss 相对于输入张量上的一个点上的梯度，而因为上文已知，每个长度是 M 的向量的计算都是独立的，所以下文也是描述其中一个向量上一个点的梯度公式。具体是计算的时候，是通过向量操作（比如 numpy）来完成所有点的梯度计算。

先看 loss 函数对于  的求导：

而从上文约定的公式可知，对于 

402 Payment Required

 的计算中涉及到  的有三部分，分别是 、 和 。所以 loss 对于 的偏导可以写成以下的形式：

接下来就是，分别求上面式子最后三项的梯度公式。

第一项梯度推导

在求第一项的时候，把  和  看做常量，则有：