数字图像处理 使用C#进行图像处理九 实现傅里叶变换

一、简述

        傅立叶变换将图像分解为其正弦和余弦分量。换句话说，它将图像从空间域变换到频率域。这个想法是任何函数都可以用无限正弦函数和余弦函数之和来精确近似。傅里叶变换是实现此目的的一种方法。

        网上有很多关于傅里叶变换的文章，这里就不进行赘述了，这里主要结合代码和公式，一步步实现图像从空域到频域的变换。

二、傅里叶变换公式

1、离散傅里叶变换公式

        由于我们只关心数字图像，因此我们将讨论限制为离散傅里叶变换（DFT）。DFT 是采样的傅里叶变换，因此不包含形成图像的所有频率，而仅包含一组足够大以完全描述空间域图像的样本。频率的数量对应于空间域图像中的像素数量，即空间域和傅里叶域中的图像具有相同的大小。

        对于大小为 N×N 的方形图像，二维 DFT 计算如下：

        其中f(i,j)是空间域中的图像，指数项是傅里叶空间中每个点F(k,l)对应的基函数。该方程可以解释为：将空间图像与相应的基函数相乘并求和，得到每个点F(k,l)的值。

        基函数是频率递增的正弦波和余弦波，即 F(0,0)代表图像的DC分量，其对应于平均亮度，F(N-1,N-1)代表最高频率。