蓝桥杯构造法|两道例题(C++)

什么是构造

构造题
要求解题者通过观察问题的结构和规律，找到一种通用的方法或模式，使得在问题规模增大时，依然能够高效地得到答案。

在解决构造题时，以下几点思考是很重要的:

1. 观察问题规模的增长:了解问题随着规模的增大，答案的变化趋势。这可以帮助你找到一种通用的解决方案。
2. 推广规律:尝试将你观察到的规律推广到更大的问题规模上。这可能涉及到数学归纳法或者其他类似的思考方式。
3. 考虑状态转移(适用于动态规划等问题):如果问题可以通过状态转移来求解，那么要仔细考虑从一个状态到另一个状态的转移会带来什么影响。
4. 模式识别:尝试寻找问题中的模式或者特征，这有助于你更好地理解问题的本质。
5. 实践和练习:通过解决大量的构造题，你会逐渐培养出发现规律和应用通用方法的能力。
6. 注意特殊情况:一些构造题在特定的情况下可能会有不同的解法或者规律，要注意考虑这些特殊情况。
   总的来说，解决构造题需要一定的观察力、归纳能力和数学思维。随着练习的增多，你会变得越来越熟练在这类问题上。

构造题目的特点

1. 高自由度
   一道题的构造方式可能存在多种，但往往会有一种相对简单且能够满足题意的构造方式。
   这种特性看似降低了难度，使问题更易理解，但实际上，这种高自由度往往会导致考生在面对题目时感到迷茫，难以找到明确的解题思路。
2. 形式的灵活性和多样性:
   并不存在一个通用解法或套路适用于所有构造题，甚至很难找出解题思路的天性。
   这意味着解决构造题需要考生具备灵活的思维，善于观察和归纳，以便在面对各种不同形式的题目时能够找到切入点和解题方法。

面对构造题的特点，通过以下方法更有效地解决这类问题

1. 分析题目要求和条件:
   仔细阅读题目，确保你理解了题目的要求和所给的条件。
   弄清楚问题的背景和目标，明确你需要构造的内容或解决的问题。
2. 尝试特例和极端情况:
   试图找出一些特殊情况下的解法，这可以帮助你更好地理解问题的本质。探索极端情况，看看在极端条件下是否会出现特殊的构造方式或者规律
3. 寻找模式和规律:
   观察题目中是否存在一些明显的模式或者规律，这可能是解决问题的关键尝试从已知的情况中找到一般性的解法，并推广到更一般的情况。
4. 尝试逆向构造:
   从问题的反面思考也可以给出有用的线索。尝试反向推导出符合条件的情况。
5. 使用数学归纳法:
   尝试使用数学归纳法证明某种构造方式在所有情况下都成立。
6. 灵活运用已知知识:
   将已学的数学、物理、逻辑等知识灵活应用，可能会为你找到新的解法。
7. 反复实践和总结:
   多做类似的题目，总结解题经验，找出有效的解题方法，虽然不存在通解，但是部分构造题可能会用到相似的套路，如果能够有做题的广度并且经常总结，那么对于你解决构造题目是非常有帮助的。
8. 保持耐心和信心:
   构造题可能需要时间和多次尝试才能找到合适的解法，保持耐心和信心是很重要的

构造的应用场景

构造题目在算法竞赛中起着重要的作用，它们旨在考察选手对问题的抽象能力、发现规律的能力以及解决问题的创造性思维。以下是一些构造题目在算法竞赛中的常见应用场景:

1. 数学问题:
   构造满足一定条件的数列、集合或排列组合。
   利用数学关系构造出特定的解。
2. 图论问题:
   ·构造特定的图结构，如树、图、有向图等。
   根据题意构造出满足条件的图。
3. 字符串处理:
   构造满足字符串性质的解，如回文串、循环字符串等，
   构造满足特定字符串操作的解。
4. 组合与排列:
   构造出满足一定条件的排列或组合
   根据条件构造特定的排列组合解。
5. 游戏策略:
   设计游戏规则，构造出有趣的游戏场景，考验选手的策略思维。
6. 逻辑推理:
   构造逻辑谜题或者推理题，要求选手根据题目信息进行推理，得出正确答案。
7. 数据结构:
   构造特定的数据结构，如堆、树、图等，要求选手在构造的基础上进行一系列操作
8. 动态规划:
   构造状态转移方程，设计合适的状态表示，构造动态规划解。
9. 贪心算法:
   构造出合适的贪心策略，使得贪心策略能够得到最优解
10. 模拟问题:
    设计模拟题，要求选手模拟特定场景或过程，根据模拟的结果得出答案

这些是一些常见的构造题目应用场景。构造题目的特点是多样化，可以涵盖许多不同的领域和难度级别，有助于培养选手的创造性解决问题的能力。因此，在算法竞赛中，构造题目通常被认为是一种重要的题型。

例题1

蓝桥小蓝喜欢数学，他特别喜欢做数学题，有一天他遇到了一个有趣的数学题:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{N}$$
现在给定一个正整数N，小蓝想知道当x、y、z取何值时，上述等式成立。请你帮助小蓝找到满足条件的整数 x、y、z。
输入:
输入包含一个正整数N(1≤N≤1000)。
输出:
如果存在满足条件的整数x、y，z，则输出一个满足条件的解，以空格分隔。如果有多组解请输出任意一组即可。
如果不存在满足条件的解，则输出"No Solution"。

样例

样例1:
输入:N=1
输出:2 3 6
样例2:
输入:N =2
输出:4 6 12

题目解析

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{N}$
这个题如果数学题做的多的话，我们能够很快想到:
当N=2时，$1/2=1/4+1/4，1/4=3/12=1/12+2/12=1/12+1/6$,所以$x=4,y=6,z=12$
当N=3时，$1/3=1/6+1/6,1/6=3/18=1/18+2/18=1/18+1/9$,所以$x=6,y=9,z=18$
这里的答案就跟样例不同了，因为是构造体，案比较开放，题目的样例是随机出现，一般出题人可能会用一些比较偏的数据误导做题人。
当N=4时，$1/4=1/8+1/8，1/8=1/12+1/24$，所以$x=8,y=12,z=24$
显然我们可以推导得到，
当N=n时，$x=2n,y=3n,z=6n$为原式的一组解
这个题目可以归类于数学题目，我们需要构造出一组满足某个式子的解。

除此之外，有个关于1/n的推论1/n=1/(n+1)+1/(n*(n+1))
$$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\ast (n+1)}$$
令n+1=t则$\frac{1}{n+1}=\frac{1}{t}$再带入$\frac{1}{n}$的公式得$\frac{1}{t}=\frac{1}{t+1}+\frac{1}{t\ast (t+1)}$
t=n+1带回得，$\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+1)\ast (n+2)}$
原式$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n)\ast (n+1)}=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+1)\ast (n+2)}+\frac{1}{n\ast (n+1)}$
当n=2时，$\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6},x=4,y=6,z=12$
当n=3时，$\frac{1}{3}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}+\frac{1}{12},x=5,y=12,z=20$

例题2

给定一个正整数n。你的任务是找到任意三个整数a、b和c(0≤a,b,c≤10^9)，使得(a㊉b)+(b㊉c)+(a㊉c)=n，或者确定不存在这样的整数。
这里，a㊉b表示a和b的按位异或运算。例如，2㊉4=6，3㊉1=2。

输入

每个测试包含多个测试用例。
第一行包含一个整数t(1≤t≤10^4)–测试用例的数量。接下来的t行包含测试用例的描述
每个测试用例的唯一一行包含一个整数n(1≤n≤10^9)

输出

对于每个测试用例，输出任意三个整数a、b和c(0≤a,b,c≤10^9)，使得(a㊉b)+(b㊉c)+(a㊉c)=n。如果不存在这样的整数，则输出-1。

题目解析

多组样例，每组样例一个n，问我们能不能找到三个数满足等式(a㊉b)+(b㊉c)+(a㊉c)=n,如果能找到就输出a，b，c，否则输出-1

首先，我们可以观察到以下性质:
奇数与奇数进行异或运算会得到一个偶数。
偶数与偶数进行异或运算会得到一个偶数。·
奇数与偶数进行异或运算会得到一个奇数。

因此，当a、b、c三个数全为奇数或者全为偶数时，得到的结果n一定是一个偶数。
当a、b、c中有两个为奇数时，我们可以假设a、b为奇数，那么n的结果为偶数+奇数+奇数=偶数。
同样地，当a、b、c中有两个为偶数时，我们可以假设a、b为偶数，那么n的结果为偶数+奇数+奇数=偶数。
综上所述，无论a、b、c取值如何，都无法得到一个奇数。
因此，当n为奇数时，一定无解。而当n为偶数时，我们可以取a=b=n>>1，c=0，这样就构成了一个满足题意的解

编码和调试技巧

1. 变量定义：
   一看就明白变量名和函数名
   方便自己理解
   方便和别人交流
2. 数据结构：静态数组就是一切
   不用指针
   用静态数组或者内置工具实现所有的数据结构

• 队列
• 栈
• 链表

3. 数组范围和循环范围
   1. 数组范围
      a[0] ~ a[n-1]
a[1] ~ a[n]
   2. sort()范围
4. 提高可读性，逻辑功能的划分
   时间充足的情况下
   把一个单独的逻辑功能写成一个函数
   只要能独立的功能，尽量用函数单独实现
5. 没有明确终止的输入，多组输入

while (cin >> n){do thing}
while (scanf("%d", &n) != EOF){do thing}
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