AcWing 505. 火柴排队(每日一题）

目录

题目链接：505. 火柴排队 - AcWing题库

解题思路：

离散化：

归并排序求逆序对：

总代码：

---

题目链接：505. 火柴排队 - AcWing题库

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。

现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：

其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。 

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。

请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？

如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入格式

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。 

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

数据范围

1≤n≤10^5,
0≤火柴高度≤2^31−1,

输入样例：

4
2 3 1 4
3 2 1 4

输出样例：

1

---

解题思路：

离散化+归并排序求逆序对（或者树状数组求逆序对）

树状数组比较抽象，这里以归并排序为例。先听我阐述一下大体思路，后面细节听我娓娓道来。这个题一看无非是交换序列最小次数，如果我们固定第一组数据，那么第二组数据就按照第一组的数据大小排列即可保证最小距离，那么我们把第一组数据排一下序，第二组的数据是不是就好处理了。由于数据量很大，且数据不集中很离散，可能会爆栈，考虑离散化。那么我们把数组a,b都处理好了下面考虑移动几次就好了。根据结论，一个数组b中的元素移动到另一个数组a使其位置相同，最少需要移动b的逆序对数（前提是排好序），那么我们如何求逆序对呢，想一想归并排序的实现，可以利用前面数组l的数l[i]大于后面数组r的数r[j]的特点，若前面数组l的数l[i]大于后面数组r的数r[j]，说明数组l此时位置i往后到mid的位置都是逆序对数，因为数组l是有序的，既然此时的位置i都要大于数组r的数r[j]，那么l[i]到l[mid]都是大于r[j]的，那么逆序对数就是mid-i+1，总的逆序对数即为答案。

---

离散化：

离散化，把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。
通俗的说，离散化是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小。例如：
原数据：1,999,100000,15；处理后：1,3,4,2；

什么时候使用离散化，当数据很离散且很大，当要去此值当作数组下标，例如n<=1e5;0<=a[i]<=1e9。

下面写一个模板

#include
#include
using namespace std;
const int N=1e5+5;
const int M=1e9+5;
int a[N];
int n;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	sort(a+1,a+n+1);//排序
	int len=unique(a+1,a+n+1)-(a+1);//去重,len为新长度
	for(int i=1;i<=len;i++){
		cout<" ";//排序好的数据
		a[i]=lower_bound(a+1,a+n+1,a[i])-a;
		cout<//离散化映射下标
	}
	return 0;
}

---

归并排序求逆序对：

下面写一下求逆序对函数：

int merge_sort(int l,int r){
    if(l>=r)return 0;
    int mid=l+r>>1;
    int res=(merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r))%mod;
    int i=l,j=mid+1,k=0;
    while(i<=mid&&j<=r){
        if(b[i]<=b[j])p[k++]=b[i++];
        else p[k++]=b[j++],res=(res+mid-i+1)%mod;
    }//只有前面数组大于后面数组的数时，才满足逆序对
    while(i<=mid)p[k++]=b[i++];
    while(j<=r)p[k++]=b[j++];
    for(int i=l,j=0;i<=r;i++,j++)b[i]=p[j];
    return res;
}

总代码：

#include
#include
using namespace std;
const int mod=99999997;
const int N=1e5+5;
int n;
int a[N],b[N],c[N],p[N];
int find(int x){//二分查找
    int l=1,r=n;
    while(l
        int mid=l+r>>1;
        if(p[mid]>=x)r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    return l;
}
void work(int a[]){//离散化函数
    for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=a[i];
    sort(p+1,p+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
       a[i]=find(a[i]);
       //a[i]=lower_bound(p+1,p+n+1,a[i])-p;可以用lower_bound函数更简单
	}
    return;
}
int merge_sort(int l,int r){//归并求逆序对
    if(l>=r)return 0;
    int mid=l+r>>1;
    int res=(merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r))%mod;
    int i=l,j=mid+1,k=0;
    while(i<=mid&&j<=r){
        if(b[i]<=b[j])p[k++]=b[i++];
        else p[k++]=b[j++],res=(res+mid-i+1)%mod;
    }
    while(i<=mid)p[k++]=b[i++];
    while(j<=r)p[k++]=b[j++];
    for(int i=l,j=0;i<=r;i++,j++)b[i]=p[j];
    return res;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];
    work(a),work(b);
    for(int i=1;i<=n;i++)c[a[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=c[b[i]];
    cout<<merge_sort(1,n)<
    return 0;
}

---

此题比较抽象，需要很多转化处理，可以看一看B站的讲解，笔者写可能有不准确的地方，一些地方也不是最优解法，望大家理解，若有错误请大家指出共同进步。