算法——动态规划

1. 什么是动态规划？

动态规划（Dynamic Programming）是一种解决多阶段决策问题的优化方法。它通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，能够将一个大问题分解为多个重叠的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而提高算法效率。

动态规划的基本思想是将原问题分解为若干子问题，先求解子问题的解，然后将这些子问题的解组合起来，逐步推导出原问题的解。为了避免重复计算，动态规划算法通常采用表格（数组）来存储已经求解的子问题的解，这种表格通常称为动态规划(dp)表。 

2. 动态规划算法的解题流程

动态规划算法的一般步骤如下：

1. 定义状态： 明确定义问题的状态，将原问题转化为具有重叠子问题的子问题。在解题中体现为确认dp表中每一个格子表示什么。

2. 找到状态转移方程： 建立子问题之间的递推关系，通过状态转移方程描述问题的最优子结构。在解题中体现为dp表如何去填写。

3. 初始化： 初始化动态规划表，将边界状态的值填入表中。在解题中，初始化的目的是为了保证最后得到的结果是正确的。

4. 逐步计算： 从边界状态开始，按照状态转移方程逐步计算并填充动态规划表。在解题中，体现为确认填dp表的方向。

5. 解读结果： 根据动态规划表中的结果得到原问题的解。在解题中，体现为返回正确结果。

3. 应用实例

①斐波那契数列模型

1. 第N个泰波那契数

题目链接：1137. 第 N 个泰波那契数 - 力扣（LeetCode）

解析：看完这道题，我们分析这个题目可以发现，题目已经将几乎动态规划的所有步骤告诉了我们，我们只需要按照他说的完成流程即可，我们定义dp[i]表示第i个泰波那契数，我们的动态转移方程为 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]，而初始化要想得到正确结果，我们需要将dp[0] = 0, dp[1] = dp[2] = 1，填表方向则是从左向右从第3个位置开始填，最后返回dp[n]即可（n为0,1,2时需要进行特殊判断），代码如下

class Solution 
{
public:
    int tribonacci(int n) 
    {
        if (n == 0) return 0;
        if (n <= 2) return 1;
        vector<int> dp(n+1);
        dp[1] = dp[2] = 1;
 
        for (int i = 3; i <= n; i++)
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3];
 
        return dp[n];
    }
};

2. 三步问题

题目链接：面试题 08.01. 三步问题 - 力扣（LeetCode）

解析：分析这个题目，我们可以创建一个大小为(n+1)的dp表，我们定义dp[i]为到小孩上到第i个阶梯共有多少种方式，根据题目我们可以发现，要想到达dp[i]这个位置，我们有三种方法上来，分别是从前三个位置上来，即

所以我们可以得到dp[i]的动态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]，初始化时，只有前三个台阶需要特殊处理，由于一开始就处于第0个台阶因此dp[0]=1，到第一个台阶只有一种方法，所以dp[1] = 1，到第二个台阶有2种方法，所以dp[2] = 2，由于题目中是从下往上跳，因此填表顺序为从第三个台阶开始从左向右填，最终返回dp[n]即可，代码如下

class Solution 
{
public:
    int waysToStep(int n) 
    {
        if (n <= 1) return 1;
        if (n == 2) return 2;
 
        int mod = 1e9 + 7;
        vector<long long> dp(n+1);
        dp[0] = dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
 
        for (int i = 3; i <= n; i++)
            dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]) % mod;
        
        return dp[n];
    }
};

3. 使用最小花费爬楼梯

题目链接：746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

解析：分析题目，我们可以定义dp[i]表示到第i个阶梯的最小花费，而要想到达第i个阶梯，要么只能从第i-1个阶梯来，要么只能从i-2个阶梯来，我们只需要最小的花费，所以动态转移方程如下 dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);，由于可以选择下标从0或1的阶梯开始爬，因此我们无需初始化，填表顺序为从前往后填，最后返回dp[n]即可，代码如下

class Solution 
{
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) 
    {
        int n = cost.size();
        vector<int> dp(n+1);
 
        for(int i = 2; i <= n; i++)
            dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);
 
        return dp[n];
    }
};

除了从左向右填表外，我们还可以从右向左填表，定义dp[i]表示从第i个阶梯开始到达楼顶的最小花费，从第i个阶梯向后移动，要么只能移动一步要么只能移动两步，我们需要得到其中较小的一种情况，因此有 dp[i] = min(dp[i+1], dp[i+2]) + cost[i]，由于从倒数第一和倒数第二个阶梯都能直接到达楼顶，因此我们需要初始化dp[n-1] = cost[n-1], dp[n-2] = cost[n-2], 填表时从后往前填即可，最终返回dp[0]与dp[1]中的较小值，代码如下

class Solution 
{
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) 
    {
        int n = cost.size();
        vector<int> dp(n+1);
        dp[n-1] = cost[n-1];
        dp[n-2] = cost[n-2];
 
        for(int i = n - 3; i >= 0; i--)
            dp[i] = min(dp[i+1], dp[i+2]) + cost[i];
 
        return min(dp[0], dp[1]);
    }
};

4. 解码方法

题目链接：91. 解码方法 - 力扣（LeetCode）

解析：分析这个题目，我们可以定义dp[i]表示到达第i个字符时共有多少种解码方法，若当前单个字符能够解码（不为'0'），则表明当前字符是一种解码方法，此时该字符可以与前面的串形成一种编码即dp[i-1]，若当前字符不能够解码（为'0'），则表明当前字符不是一种解码方式，此时dp[i]就置为0；若当前字符能与前一个字符进行解码，则表明这两个字符是一种解码方法，即dp[i-2]，若不能形成，则dp[i]置于0，对于初始化我们只需要知道第一个字符是否为'0'即可，是的话dp[0] = 0，不是的话dp[0] = 1，dp[1]有0,1,2三种情况，填表顺序为从左往右填，最终返回dp[n-1]即可，代码如下

class Solution 
{
public:
    int numDecodings(string s) 
    {
        int n = s.size();
        vector<int> dp(n);
        if (s[0] != '0') dp[0] = 1;
        if (n == 1) return dp[0];
 
        int code = stoi(s.substr(0, 2));
        if (s[1] != '0' && s[0] != '0') dp[1]++;
        if (code >= 10 && code <= 26) dp[1]++; 
            
        for (int i = 2; i < n; i++)
        {
            if (s[i] != '0') dp[i] += dp[i-1];
            code = stoi(s.substr(i-1, 2));
            if (code >= 10 && code <= 26) dp[i] += dp[i-2];
        }
 
        return dp[n-1];
    }
};

②路径问题

1. 不同路径

题目链接：62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

解析：分析题目，我们可以规定dp[i][j]表示到达(i, j)位置的所有路径数，由于机器人每次只能向下或者向右移动，因此对于一个dp[i][j]它只能从左侧过来，或者从上方下来，即 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]，为了免除边界处理的情况，我们可以人为的为dp表填上一行，防止i-1与j-1越界，即直接初始化dp大小为(m+1)*(n+1)，此时要注意，由于我们添加了一行因此原数组的位置的映射关系发生了改变，即dp[i][j]表示的是到达(i-1, j-1)位置的路径数，为了保证结果的正确我们可以挑选dp[0][1] = 1 或者 dp[1][0] = 1，填表顺序为从左向右，从上至下，最后返回dp[m][n]即可，代码如下

class Solution 
{
public:
    int uniquePaths(int m, int n) 
    {
        vectorint>> dp(m+1, vector<int>(n+1));
        dp[0][1] = 1;
 
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
 
        return dp[m][n];
    }
};

2. 不同路径Ⅱ

题目链接：63. 不同路径 II - 力扣（LeetCode）

解析：这道题整体的思路与上一题类似，但是这道题在遇见1的时候是到达不了这个地方的，此时将该位置置为0即可（注意下标间的映射为dp[i][j]对应ob[i-1][j-1]），代码如下

class Solution 
{
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vectorint>>& obstacleGrid) 
    {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        vectorint>> dp(m+1, vector<int>(n+1));
        dp[0][1] = 1;
 
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                if (obstacleGrid[i-1][j-1] == 1) dp[i][j] = 0;
                else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
 
        return dp[m][n];
    }
};

3. 珠宝的最高价值

题目链接：LCR 166. 珠宝的最高价值 - 力扣（LeetCode）

解析：分析这道题，我们可以规定dp[i][j]表示到达(i, j)位置时拿取珠宝的最大价值，由于该位置只能从左边或者上边得来，因此我们每次拿取当前珠宝数较大的一方即可，即  dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1]) + frame[i-1][j-1]; 对于初始化，我们只需要拓宽一行一列即可，填表顺序为从左到右从上至下，最终返回dp[m][n]即可，代码如下

class Solution 
{
public:
    int jewelleryValue(vectorint>>& frame) 
    {
        int m = frame.size(), n = frame[0].size();
 
        vectorint>> dp(m+1, vector<int>(n+1));
 
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + frame[i-1][j-1];
 
        return dp[m][n];
    }
};

4. 下降路径最小和

题目链接：931. 下降路径最小和 - 力扣（LeetCode）

解析：分析这道题目，我们可以规定dp[i][j]代表到达(i, j)位置的最小路径和，每一个位置应该由上一行临近的三个方向中的最小值来决定，即 dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])) + matrix[i-1][j-1]，对于这道题为了防止出界，我们应该补上第一行，第一列与最后一列，其中为了最终答案的正确，我们应该使第一行的值都为0，剩余补上的列都初始化为INT_MAX保证最终结果正确，填表顺序为从左到右从上到下，最终返回最后一行中的最小值即可，代码如下

class Solution 
{
public:
    int minFallingPathSum(vectorint>>& matrix) 
    {
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
 
        vectorint>> dp(m+1, vector<int>(n+2));
        for (int i = 1; i <= m; i++) dp[i][0] = dp[i][n+1] = INT_MAX;
 
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])) + matrix[i-1][j-1];
 
        int ret = INT_MAX;
        for (auto& e : dp[m]) ret = min(ret, e);
 
        return ret;
    }
};

5. 最小路径和

题目链接：64. 最小路径和 - 力扣（LeetCode）

解析：分析题目，我们可以定义dp[i][j]表示到达(i, j)时最小的路径和，由于只能从上左两个方向来，我们需要得到最小的路径和，因此我们可以得到动态转移方程: dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1]; 初始化就选择多一行多一列，为了保证最后的结果正确我们需要将所有位置初始化为INT_MAX，再将dp[0][1] = dp[1][0]初始化为0，最后按从左往右从上到下填表，最后返回dp[m][n]即可，代码如下

class Solution 
{
public:
    int minPathSum(vectorint>>& grid) 
    {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
 
        vectorint>> dp(m+1, vector<int>(n+1, INT_MAX));
        dp[0][1] = dp[1][0] = 0;
 
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
 
        return dp[m][n];
    }
};