图论 - 最小生成树（Prime、Kruskal）

前言

本篇博客介绍两种求最小生成树的方法：即Prime算法和Kruskal算法。Prime算法用于稠密图，也可以与Dijkstra类似用堆优化（详见《图论 - 最短路（Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA、Floyd）》），用于稀疏图，但是稀疏图的时候求最小生成树，Kruskal 算法更加实用，所以本篇博客将不介绍堆优化的Prime算法。即：稠密图用朴素Prime算法，稀疏图用Kruskal 算法即可。

Part 1：Prim算法求最小生成树

1.题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤500,
1≤m≤10⁵,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。

输入样例

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输出样例

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2.算法

• prim 算法采用的是一种贪心的策略
• prim 算法做的事情是：给定一个无向图，在图中选择若干条边把图的所有节点连起来。要求边长之和最小。在图论中，叫做求最小生成树
• 每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分，连通部分逐渐扩大，最后将整个图连通起来，并且边长之和最小
• 与Dijkstra算法求最短路唯一的区别在于所求距离并非该点到源点的距离（详见《图论 - 最短路（Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA、Floyd）》），而是该点到已选点集合的最短距离

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 510;
int g[N][N];//存储图
int dt[N];//存储各个节点到生成树的距离
int st[N];//节点是否被加入到生成树中
int pre[N];//节点的前去节点
int n, m;//n 个节点，m 条边

void prim()
{
    memset(dt,0x3f, sizeof(dt));//初始化距离数组为一个很大的数（10亿左右）
    int res= 0;
    dt[1] = 0;//从 1 号节点开始生成 
    for(int i = 0; i < n; i++)//每次循环选出一个点加入到生成树
    {
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)//每个节点一次判断
        {
            if(!st[j] && (t == -1 || dt[j] < dt[t]))//如果没有在树中，且到树的距离最短，则选择该点
                t = j;
        }

        //如果孤立点，直返输出不能，然后退出
        if(dt[t] == 0x3f3f3f3f) 
        {
            cout << "impossible";
            return;
        }


        st[t] = 1;// 选择该点
        res += dt[t];
        for(int i = 1; i <= n; i++)//更新生成树外的点到生成树的距离
        {
            if(dt[i] > g[t][i] && !st[i])//从 t 到节点 i 的距离小于原来距离，则更新。
            {
                dt[i] = g[t][i];//更新距离
                pre[i] = t;//从 t 到 i 的距离更短，i 的前驱变为 t.
            }
        }
    }

    cout << res;

}

void getPath()//输出各个边
{
    for(int i = n; i > 1; i--)//n 个节点，所以有 n-1 条边。

    {
        cout << i <<" " << pre[i] << " "<< endl;// i 是节点编号，pre[i] 是 i 节点的前驱节点。他们构成一条边。
    }
}

int main()
{
    memset(g, 0x3f, sizeof(g));//各个点之间的距离初始化成很大的数
    cin >> n >> m;//输入节点数和边数
    while(m --)
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;//输出边的两个顶点和权重
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],w);//存储权重
    }

    prim();//求最下生成树
    //getPath();//输出路径
    return 0;
}
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Part 2：Kruskal算法求最小生成树

1.题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤10⁵,
1≤m≤2∗10⁵,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。

输入样例

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1 3 2
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输出样例

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2.算法

• prim 算法采用的是一种贪心的策略
• 将所有边按照权值的大小进行升序排序，然后从小到大一一判断
• 如果这个边与之前选择的所有边不会组成回路（用并查集判断），就选择这条边分；反之，舍去
• 直到具有 n 个顶点的连通网筛选出来 n-1 条边为止
• 筛选出来的边和所有的顶点构成此连通网的最小生成树

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int p[N];//保存并查集

struct E
{
    int a;
    int b;
    int w;
    
    //通过边长进行排序
    bool operator < (const E& rhs)
    {
        return this->w < rhs.w;
    }

}edg[N * 2];

int res = 0;
int n, m;
int cnt = 0;

//并查集找祖宗
int find(int a)
{
    if(p[a] != a) p[a] = find(p[a]);
    return p[a];
}

void klskr()
{
	//依次尝试加入每条边
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int pa = find(edg[i].a);// a 点所在的集合
        int pb = find(edg[i].b);// b 点所在的集合

		//如果 a b 不在一个集合中
        if(pa != pb)
        {
            res += edg[i].w;//a b 之间这条边要
            p[pa] = pb;// 合并a b
            cnt ++; // 保留的边数量+1
        }
    }
}

int main()
{

    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;//初始化并查集

	//读入每条边
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b , c;
        cin >> a >> b >>c;
        edg[i] = {a, b, c};
    }
    
    sort(edg + 1, edg + m + 1);//按边长排序
    klskr();
    
    //如果保留的边小于点数-1，则不能连通
    if(cnt < n - 1) 
    {
        cout<< "impossible";
        return 0;
    }
    cout << res;
    
    return 0;
}
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