图论 - Trie树（字符串统计、最大异或对）

前言

本篇博客将介绍Trie树的常见应用，包括：Trie字符串统计、最大异或对。首先，我们要知道Trie树是什么？

Trie树：是一种多叉树的结构，每个节点保存一个字符，一条路径表示一个字符串。例子：下图表示了字符串： him 、 her 、 cat 、 no 、 nova 构成的 Trie 树

Part 1：Trie字符串统计

1.题目描述

维护一个字符串集合，支持两种操作：

1. I x 向集合中插入一个字符串 x；
2. Q x 询问一个字符串在集合中出现了多少次。

共有 N 个操作，所有输入的字符串总长度不超过 10⁵，字符串仅包含小写英文字母。

输入格式

第一行包含整数 N，表示操作数。

接下来 N 行，每行包含一个操作指令，指令为 I x 或 Q x 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q x，都要输出一个整数作为结果，表示 x 在集合中出现的次数。

每个结果占一行。

数据范围

1≤N≤2∗10⁴

输入样例

5
I abc
Q abc
Q ab
I ab
Q ab
1
2
3
4
5
6

输出样例

1
0
1
1
2
3

2.算法

• 用数组来模拟Trie树
  

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;
//son[][]存储子节点的位置，分支最多26条；
//cnt[]存储以某节点结尾的字符串个数（同时也起标记作用）
//idx表示当前要插入的节点是第几个,每创建一个节点值+1
int son[N][26], cnt[N], idx;
char str[N];

//插入字符串
void insert(char *str)
{
    int p = 0;  //类似指针，指向当前节点
    for(int i = 0; str[i]; i++)
    {
        int u = str[i] - 'a'; //将字母转化为数字
        if(!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;   //该节点不存在，创建节点
        p = son[p][u];  //使“p指针”指向下一个节点
    }
    cnt[p]++;  //结束时的标记，也是记录以此节点结束的字符串个数
}

//查找字符串次数
int query(char *str)
{
    int p = 0;
    for(int i = 0; str[i]; i++)
    {
        int u = str[i] - 'a';
        if(!son[p][u]) return 0;  //该节点不存在，即该字符串不存在
        p = son[p][u]; 
    }
    return cnt[p];  //返回字符串出现的次数
}

int main()
{
    int m;
    cin >> m;

    while(m--)
    {
        char op[2];
        scanf("%s%s", op, str);

        if(*op == 'I') insert(str);
        else printf("%d\n", query(str));
    }

    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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Part 2：最大异或对

1.题目描述

在给定的 N 个整数 A1，A2……AN 中选出两个进行 xor（异或）运算，得到的结果最大是多少？

输入格式

第一行输入一个整数 N。

第二行输入 N 个整数 A1～AN。

输出格式

输出一个整数表示答案。

数据范围

1≤N≤10⁵,
0≤Ai<2³¹

输入样例

3
1 2 3
1
2

输出样例

3
1

2.算法

• 字典树不单单可以高效存储和查找字符串集合,还可以存储二进制数字
• 将每个数以二进制方式存入字典树,找的时候从最高位去找有无该位的异

#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
//保存 Trie 树
int son[N * 31][2];  
int n, idx;

void insert(int x)
{
    int p = 0;//初始化指向根节点
    //从最高位开始，依次取出每一位
    for (int i = 31; i >= 0; i--)
    {   // 取出当前位
        int u = x >> i & 1;
         //如果树中不能走到当前数字
        //为当前数字创建新的节点，保存该数字
        if (!son[p][u])
            // 新节点编号为 idx + 1
            son[p][u] = ++idx; 
        p = son[p][u];
    }
}

int query(int x)
{
    //指向根节点
    int p = 0;
    // 保存与 x 异或结果最大的那个数
    int ret = 0;
     //从最高位开始，依次取出 x 的每一位
    for (int i = 31; i >= 0; i--)
    {
        // 取出 x 的当前位
        int u = x >> i & 1;
        //如果树中能走到 !u，就走到!u
        if (son[p][!u]){
            //走到!u
            p = son[p][!u];
            //更新 x 异或的对象
            ret = ret * 2 + !u;
        }  
        //没有!u，就只能走到u了
        else{
            p = son[p][u];
            //更新 x 异或的对象
            ret = ret * 2 + u; 
        }
    }
    //计算异或结果
    ret = ret ^ x;
    return ret;
}

int main()
{
    cin >> n;
    int maxXorNum = 0; 
    int x;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> x;
        insert(x);
        maxXorNum = max(maxXorNum, query(x));
    }

    cout << maxXorNum << endl;

    return 0;
}
1
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69
70