【数据结构与算法】动态规划法解题20240302

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一、198. 打家劫舍

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

1、动态规划五部曲

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

2、确定递推公式
决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。
如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。
如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考 虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房，这是很多同学容易混淆的点）
然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

3、dp数组如何初始化
从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]
从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

# 3、数组初始化
dp[0] = nums[0]
dp[1] = max(nums[0], nums[1])
1
2
3

4、确定遍历顺序
dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！

class S198:
    def func(self, nums):
        # 1、创建dp数组，dp[i]:到达下标为i的位置偷窃的最大金额
        dp = [0] * (len(nums))
        # 3、数组初始化
        dp[0] = nums[0]
        dp[1] = max(nums[0], nums[1])
        # 4、确定遍历顺序
        for i in range(2, len(nums)):
            # 2、确定递推公式
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i])
        print(dp)
        return dp[-1]


r = S198()
nums = [2, 7, 9, 3, 1]
print(r.func(nums))
1
2
3
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二、213. 打家劫舍 II

中等

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：
情况一：考虑不包含首尾元素

情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素

情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素

注意我这里用的是"考虑"，例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。

而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。

class S213:
    def func(self, nums):
        if not nums:
            return 0
        if len(nums) <= 2:
            return max(nums)
        # 1、创建dp数组，明确dp数组的含义,之前房间到i时偷的最大金币为dp[i]
        dp = [0] * len(nums)
        # dp[i]:含义 第i个数偷的最高金额
        # todo 抢第一个房间，不抢最后一个房间
        dp[0] = nums[0]
        dp[1] = max(nums[0], nums[1])
        for i in range(2, len(nums) - 1):
            # 2、确定递推公式
            dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1])
        res1 = dp[-2]
        print(dp)  # [1, 2, 4, 0]
        dp1 = [0] * len(nums)
        # todo 不抢第一个房间，抢最后一个房间
        dp1[0] = 0
        dp1[1] = nums[1]
        dp1[2] = max(nums[1], nums[2])
        for i in range(3, len(nums)):
            # 2、确定递推公式
            dp1[i] = max(dp1[i - 2] + nums[i], dp1[i - 1])
        res2 = dp1[-1]
        print(dp1)  # [0, 2, 3, 3]
        return max(res1, res2)


r = S213()
nums = [1, 2, 3, 1]
print(r.func(nums))
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