代码随想录算法训练营第60天（动态规划17● 647. 回文子串 ● 516.最长回文子序列 ● 动态规划总结篇

647. 回文子串

动态规划解决的经典题目，如果没接触过的话，别硬想 直接看题解。
题目链接： 647. 回文子串
文章/视频讲解： 647. 回文子串

解题思路

动态规划解法

1. dp数组及其下标的含义
   布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
2. 确定递推公式
   在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
3. dp数组如何初始化
dp[i][j]初始化为false。
4. 确定遍历顺序
从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

中心拓展法

长度为n的字符串会生成 2n-1 组回文中心[li, ri]，其中li = i/2，ri = li + i mod 2。这样我们只要从0到 2n - 2遍历 i，就可以得到所有可能的回文中心，这样就把奇数长度和偶数长度两种情况统一起来了。

为什么是2n-1个中心点？
如果回文串是奇数，我们把回文串中心的那个字符叫做中心点，如果回文串是偶数我们就把中间的那两个字符叫做中心点。
对于一个长度为n的字符串，我们可以用它的任意一个字符当做中心点，所以中心点的个数是n。我们还可以用它任意挨着的两个字符当做中心点，所以中心点是n-1，总的中心点就是2*n-1。

// 动态规划
class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        char[] chars = s.toCharArray();
        int len = chars.length;
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        int result = 0;
        for(int i = len - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < len; j++){
                if(chars[i] == chars[j]){
                    if(j - i <= 1){    // 情况1和2
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }else if(dp[i + 1][j - 1] == true){  // 情况3
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
}
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// 中心拓展法
class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int n = s.length(), ans = 0;
        for (int i = 0; i < 2 * n - 1; ++i) {
            int l = i / 2, r = i / 2 + i % 2;
            while (l >= 0 && r < n && s.charAt(l) == s.charAt(r)) {
                --l;
                ++r;
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
}
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516.最长回文子序列

647. 回文子串，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 大家要搞清楚两者之间的区别。
题目链接： 516.最长回文子序列
文章/视频讲解： 516.最长回文子序列

解题思路

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
2. 确定递推公式
   在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
   如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
   如果s[i]与s[j]不相同 ，dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
3. dp数组如何初始化
   dp[i][i] = 1;
4. 确定遍历顺序
   i从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
   j从左向右遍历

// 动态规划
class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int len = s.length();
        int[][] dp = new int[len][len];
        for(int i = len - 1; i >= 0; i--){
            dp[i][i] = 1;
            for(int j = i + 1; j < len; j++){
                if(s.charAt(i) == s.charAt(j)){
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j],dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][len - 1];
    }
}
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动态规划总结篇

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