数学建模【遗传算法】

一、遗传算法简介

从做菜说起，小魏是一名大厨，想要创造一道美味的菜肴。首先随机生成多个原始配方，每种配方所用的原料（鸭脖、鸡肉、大肠等）与手法（煎炒焖炸卤炖）组合不同，现实中考虑调料用量、烹饪时间等等变量，会有无穷多种解，传统算法难以求解。

请评委对几种配方做出的菜打分，分数高的配方进行配方交叉，保留一部分评分高的配方要素、舍弃评分低的配方。例如配方A和配方C的分数都高，A是卤鸭脖，C是炖大肠，配方交叉尝试新一组方案：“炖鸭脖”和“卤大肠”。

有时会在配方交叉之后，再变更食材或烹饪方式。就像是在配方中随机使用了一些与原配方无关的调料或者做法（鸭脖改成鼠头），变异可能带来惊喜（评分高），也可能有惊无喜（试试就逝世），所以只小概率进行。

再对新配方的菜评分，继续交叉、小概率变异.....不断循环直至无改进空间为止。

将其类比于生物学和遗传算法

二、适用赛题

函数优化、组合优化问题

• 对于一些非线性、多模型、多目标的函数优化问题
• 不依赖于问题的背景领域，使用方便，连续1离散、单峰1多峰等等各种形式均可

NP-Hard问题

• 模拟退火算法中讲过的TSP问题、背包问题、图形划分问题等
• 在NP-Hard问题方面普遍来说各类启发式算法均可

优缺点

• 相比模拟退火，相比良好的全局搜索能力，不易陷入局部最优
• 相比粒子群算法，常规的遗传算法可直接求解离散问题
• 缺点：由于变异是随机的，局部搜索能力差;相对其他算法更耗时、思路复杂抽象
• 可多种算法结合改进，例如遗传算法优化神经网络等混合算法（新手慎用）

三、模型流程

四、流程分析

还是以一个例题贯穿流程分析

例题:现有12份快递需要配送，背包容量350，每份快递的体积不同、收益不同，应该将哪些物品放进背包，使得所总体积不超过背包容量且总收益最大?

这是一个很典型的0-1背包问题，如果学过动态规划的同学，这个题目是非常简单的，不过这里我们用遗传算法求解之。

• 用“0”和“1”表示物品的装包状态
• 一个物品装包状态为0代表没有被装进包中，1代表被装进包中
• 例如“100111001001”代表第1，4，5，6，9，12个物品被装进背包
• 每一个物品的装包状态（0或1）作为一个基因
• 问题的一个解：一组12个数构成的数组为一个个体（染色体）

1.种群初始化

• 有N个物品，则随机生成N个数（0或1）构成一个数组，作为一个个体，及可能的解
• 重复上一步，生成多个个体，构成种群（解集）
• 群体规模太小容易陷入局部最优，太大又会使计算复杂度高费时间，一般设置20到200

2.选择运算

• 求每个个体的适应度:把解x带入目标函数求函数值f(x)
• 目的是从第t代群体P(t)中挑选出优良个体，把基因遗传到下一代群体P(t+1)

选择操作的准则

• 适应度越高的个体被选中的概率越大
• 适应度较低的个体仍有被选中的可能

为什么不直接从大到小排序，直接选适应度最高的几个个体进行后续操作?

• 适应度最高的几个个体，也意味着适应度高度相似
• 往往其基因（解分量）也很相似
• 如果每次都只选适应度最高的个体，意味着每轮迭代所选的个体相似度很高
• 那么后代的相似度也会很高，进化陷入停滞，意味着陷入局部最优解

至于选择操作怎么进行，看个人，只要符合上面的准则即可。下面提供一种方法

轮盘赌法

• 1.计算每个个体被选中概率P(xi)，概率值与其适应度值成正比

• 2.计算每个个体对应的累积概率qi，为从第1个个体到当前个体的选中概率之和

• 3.随机生成一个数组bet，其中的元素取值在0到1之间，并将元素从小到大排序
• 4.若第i个个体的累积概率qi大于bet(i)， 则第i个个体被选中，并更新bet(i)为bet(i+1)，否则选择第(i+1)个个体与bet(i)比较，直至选出一个个体为止
• 5.重复步骤4，直至选出与种群数量相等的个体数(其中有的个体被多次选中)

轮盘赌法分析

• 第i个个体适应度值越大→被选中概率P(xi)数值越大
• P(xi)越大→P(xi) = (qi) - (qi-1)越大， 即第i个个体对累积概率带来的“增大幅度”也越大
• 增大幅度(qi - qi-1)越大→新个体满足qi > bet的概率也越大（回忆下bet是怎么变化的）
• 个体满足qi > bet(i)即意味着被选中
• 结论：个体适应度值越大，被选中的概率越大
• 基因好、适应度大使得其对累积概率带来的“增幅”更大
• 类似在轮盘上该个体所占的面积越大，被选中的概率也越大
• 被选择的个体中会有重复
• 因为适应度高的个体被选中概率大而可能被选中多次
• 对应于生物界中基因优良生存能力强的个体可能具有多次交配权

3.交叉

• 在被选择的所有个体中，两个个体之间进行交叉操作
• 先根据交叉概率判断是否执行交叉操作，一般设置为80%到95%（即较大概率）
• 随机选择进行交叉的位置，如何选择看个人，满足随机即可

4.变异

• 变异操作是为了利用“不确定性”来赌一把，或许更好，或许更差
• 先判断每个个体的每个基因是否进行变异运算，一般变异概率设为0.5%到5%即可
• 变异运算就是对变异的基因取反，0变1，1变0

5.输出最优解

当循环完成后，统计种群中所有的适应度，取最优解输出，到底是最大还是最小是最优解根据具体题目

6.补充

进行运算的时候，不要忘记题目本身的一些约束。比如这个背包问题，如果体积超过背包容量上限，即使其适应度可能很高但是这种情况也不能要，所以要进行一些操作避免，比如设置惩罚系数或者直接赋0等，看个人选择。具体题目具体分析。

7.总结