【学习笔记】 - 基础数据结构 ：Link-Cut Tree(基础概念篇)

发现树剖代码太长了，给我恶心坏了

学个代码短点的能写树剖题的数据结构吧

前置知识

• 平衡树splay

• 树链剖分

简介以及优缺点介绍

Link-Cut Tree，也就是LCT，一般用于解决动态树问题

Link-Cut Tree可用于实现重链剖分的绝大多数问题，复杂度为$O\left(n\log n\right)$，看起来比树剖的$O\left(n{\log }^{2}n\right)$复杂度更小，但则不然，基于splay实现的Link-Cut Tree常数巨大(约11倍常数)，往往表现不如树剖

Link-Cut Tree的代码往往比树剖少一些

动态树问题

维护一个森林，支持删除某条边，连接某条边，并保证加边/删边之后仍是森林

同时维护这个森林的一些信息

实链剖分

• 回顾重链剖分

  • 按子树大小剖分整棵树并重新标号

  • 此时树上形成了一些以链为单位的连续区间，用线段树进行区间操作

我们发现，诶重剖怎么是按子树大小来剖的，这也不能搞动态树啊

显然我们需要让剖分的链是我们指定的链，以便利用来求解

• 实链剖分

  对于一个点连向它所有儿子的边，我们自己选择一条边进行剖分，我们称被选择的边为实边，其他边则为虚边。

  我们称实边所连接的儿子为实儿子，实边组成的链称之为实链

  选择实链剖分的最重要的原因便是因为实链是我们选择的，灵活且可变

  正是它的这种灵活可变性，用 Splay 来维护这些实链

Link-Cut Tree

我们可以把 LCT 理解为用一些 Splay 来维护动态树剖并实现动态树上的区间操作

每条实链都建一个 Splay 维护整个链的区间信息

• 辅助树

  我们认为一些 Splay 共同构成了一颗辅助树，每个辅助树都维护了一颗树，所有的辅助树构成了 Link-Cut Tree，维护了整个森林

  辅助树有很多性质

  • 辅助树由多棵 Splay 组成，每棵 Splay 都维护了树中一条严格在原树中「从上到下」深度单调递增的路径，且中序遍历这棵 Splay 得到的点的深度序列单调递增

  • 原本的树的每个节点与辅助树的 Splay 节点一一对应。

  • 辅助树各棵 Splay 间并不独立。在 LCT 中每棵 Splay 的根节点的父亲节点指向原树中这条链的父亲节点（即链最顶端的点的父亲节点）。

    特殊的，这里的儿子认父亲，父亲却不认儿子，对应原树的一条 虚边

    故每个连通块恰好有一个点的父亲节点为空

  • 维护任何操作都不需要维护原树

    辅助树可以在任何情况下拿出一个唯一的原树

    只需维护辅助树即可

  这是一颗原树 $\leftarrow$

  这是建出的辅助树 $\leftarrow$

代码实现

这里只有 LCT 特有的几个操作

• 数组定义

  fa[x] //x的父亲节点
  son[x][2] //x的左右儿子
  sz[x] //x的子树大小
  rev[x] //x是否需要对儿子进行翻转
  

• splay操作

  和正常splay不同的是LCT的每次splay影响的所有点都必须是当前splay中的钱

  而且在splay操作前必须把它的所有祖先全都pushdown，因为LCT不一定把哪个点应用splay操作

  • 代码

    inline bool isroot(int x){
        return ((son[fa[x]][0]==x)||(son[fa[x]][1]==x));
    }
    inline void splay(int x){
        int y=x,z=0;
        st[++z]=y;
        while(isroot(y)){
            st[++z]=y=fa[y];
        }
        while(z){
            push_down(st[z--]);
        }
        while(isroot(x)){
            y=fa[x],z=fa[y];
            if(isroot(y))
                rotate((son[y][0]==x)^(son[z][0]==y)?x:y);
            rotate(x);
        }
        push_up(x);
    }
    

• access操作

  LCT最重要的操作，其他所有操作都要用到它

  含义是访问某节点，作用是对于访问的节点 $x$ 打通一条从树根到 $x$ 的实链

  如果有其他实边与新的实链相连则改为轻边

  可以理解为专门开辟一条从 $x$ 到 $root$ 的路径，用splay来维护这条路径

  • 实现方法

    先把 $x$ 旋转到所在Splay的根

    用 $y$ 记录上一次的 $x$ (初始化$y=0$)，把 $y$ 接到 $x$ 的右儿子上

    这样就把上一次的实链接到了当前实链下

    它原来的右儿子(也就是LCT树中在 $x$ 下方的点)与它所有的边自然变成了虚边

    记得pushup

  • 代码

    inline void access(int x){
        for(int y=0;x;x=fa[y=x])
            splay(x),
            rc=y,push_up(x);
    }
    

• 换根操作

  作用是把某个节点变成树根(这里的根指的是整颗LCT的根)

  再加上access操作就能方便的提取出LCT上两点之间距离

  提取$u$到$v$的路径只需要toroot(u),access(v)，然后$v$所在的Splay对应的链就是$u$到$v$的路径

  • 实现方法

    先 access 一下，这样 $x$ 就一路打通到了根，然后再splay(x)，由于x是这条实链最下面的点，所以 $x$ 的 splay 的右儿子是空的，左儿子是它上面所有点

    因为 splay 是支持区间翻转的，所以只要给x打个翻转标记就翻转到根了

  • 代码

    inline void toroot(int x){
        access(x);
        splay(x);
        reserve(x);
    }
    

• link操作

  作用是链接两个辅助树，对于link(u,v)，表示 $u$ 所在的辅助树和 $v$ 所在的辅助树

  • 实现方法

    只需要先toroot(u)，然后记 fa[u]=v 就可以了，就是把一整颗辅助树连到另一个点上

  • 代码

    inline void link(int x,int y){
        toroot(x);
        if(Find(y)!=x)
            fa[x]=y;
    }
    

• cut操作

  这个操作作用是切断某条边

  • 实现方法

    先分离出 $x$ 到 $y$ 的这条链

    我们假设切断的点一定是相邻的(不相邻的特判掉)，然后把 $y$ 的左儿子(也就是 LCT 中 $y$ 的父亲)与 $y$ 的边断掉就好了

  • 代码

    inline void split(int x,int y){
        toroot(x);
        access(y);
        splay(y);
    }
    inline int Find(int x){
        access(x);
        splay(x);
        while(lc)
            push_down(x),x=lc;
        splay(x);
        return x;
    }
    inline void cut(int x,int y){
        toroot(x);
        if(Find(y)==x&&fa[y]==x&&!son[y][0]){
            fa[y]=son[x][1]=0;
            push_up(x);
        }
    }
    

完整代码

模板题

点击查看代码

#define lc son[x][0]
#define rc son[x][1]
int fa[N],son[N][2],val[N],ans[N],st[N];
bool rev[N];
inline bool isroot(int x){
    return ((son[fa[x]][0]==x)||(son[fa[x]][1]==x));
}
inline void push_up(int x){
    ans[x]=ans[lc]^ans[rc]^val[x];
}
inline void reserve(int x){
    int t=lc;
    lc=rc;rc=t;
    rev[x]^=1;
}
inline void push_down(int x){
    if(rev[x]){
        if(lc)reserve(lc);
        if(rc)reserve(rc);
        rev[x]=0;
    }
}
inline void rotate(int x){
    int y=fa[x],z=fa[y],k=son[y][1]==x,w=son[x][!k];
    if(isroot(y))
        son[z][son[z][1]==y]=x;
    son[x][!k]=y;
    son[y][k]=w;
    if(w)
        fa[w]=y;
    fa[y]=x;fa[x]=z;
    push_up(y);
}
inline void splay(int x){
    int y=x,z=0;
    st[++z]=y;
    while(isroot(y)){
        st[++z]=y=fa[y];
    }
    while(z){
        push_down(st[z--]);
    }
    while(isroot(x)){
        y=fa[x],z=fa[y];
        if(isroot(y))
            rotate((son[y][0]==x)^(son[z][0]==y)?x:y);
        rotate(x);
    }
    push_up(x);
}
inline void access(int x){
    for(int y=0;x;x=fa[y=x])
        splay(x),
        rc=y,push_up(x);
}
inline void toroot(int x){
    access(x);
    splay(x);
    reserve(x);
}
inline int Find(int x){
    access(x);
    splay(x);
    while(lc)
        push_down(x),x=lc;
    splay(x);
    return x;
}
inline void split(int x,int y){
    toroot(x);
    access(y);
    splay(y);
}
inline void link(int x,int y){
    toroot(x);
    if(Find(y)!=x)
        fa[x]=y;
}
inline void cut(int x,int y){
    toroot(x);
    if(Find(y)==x&&fa[y]==x&&!son[y][0]){
        fa[y]=son[x][1]=0;
        push_up(x);
    }
}
signed main(){
    int n,m;FastI>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        FastI>>val[i];
    while(m--){
        int opt,x,y;
        FastI>>opt>>x>>y;
        if(opt==0){
            split(x,y);
            FastO<<ans[y]<<endl;
        }
        else if(opt==1){
            link(x,y);
        }
        else if(opt==2){
            cut(x,y);
        }
        else if(opt==3){
            splay(x);
            val[x]=y;
        }
    }
}