【图论经典题目讲解】CF715B - Complete The Graph

$CF715B-\mathrm{Complete}\mathrm{The}\mathrm{Graph}$

$\mathrm{Description}$

给定一张 $n$ 个点，$m$ 条边的无向图，点的编号为 $0\sim n-1$，对于每条边权为 $0$ 的边赋一个不超过 $10^{18}$ 的正整数权值，使得 $S$ 到 $T$ 的最短路长度为 $L$。

$\mathrm{Solution}$

$\mathrm{Way}1$

考虑将每 $1$ 条长度为 $0$ 的边记录出来，初始将其全部设置为 $1$（因为要求边权值 $\in [1,10^{18}]$），如果将这些边依次不断地加 $1$，则 $S$ 到 $T$ 的最短路的长度会不断地增加或不变，总之最短路长度是单调不降的。那么，如果有解就必定会找到一种方案，反之则不会。

观察数据范围可知，最多每条边会加到 $L$，有 $m$ 条边，那么时间应为 $O(m^{2}L\log n)$，因为还需加入 Dijkstra 的时间复杂度。

显然，会 TLE。不过，上文已分析最短路的长度是单调不降的，所以满足二分的性质，可以二分总共加 $1$ 的个数，然后对于每跳边先加 $\lfloor \frac{个数}{边数}\rfloor$，之后对于 $1\sim 个数\mathrm{mod}边数$ 的边再加 $1$ 即可。

时间复杂度：$O(m\log L\log n)$

$Code$

#include 
#define int long long

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;

const int SIZE = 2e4 + 10;

int N, M, L, S, T;
int h[SIZE], e[SIZE], ne[SIZE], w[SIZE], idx;
std::vector<int> Id;
int Dist[SIZE], Vis[SIZE];

void add(int a, int b, int c)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++;
}

int Dijkstra()
{
	priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> Heap;
	memset(Dist, 0x3f, sizeof Dist);
	memset(Vis, 0, sizeof Vis);
	Dist[S] = 0, Heap.push({0, S});

	while (Heap.size())
	{
		auto Tmp = Heap.top();
		Heap.pop();

		int u = Tmp.second;
		if (Vis[u]) continue;
		Vis[u] = 1;

		for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if (Dist[j] > Dist[u] + w[i])
			{
				Dist[j] = Dist[u] + w[i];
				Heap.push({Dist[j], j});
			}
		}
	}

	return Dist[T];
}

int Check(int X)
{
	for (auto c : Id)
		w[c] = X / (int)(Id.size() / 2);
	for (int i = 0; i < (X % (int)(Id.size() / 2)) * 2; i += 2)
		w[Id[i]] += 1, w[Id[i] ^ 1] += 1;
	return Dijkstra();
}

signed main()
{
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(0);

	memset(h, -1, sizeof h);

	cin >> N >> M >> L >> S >> T;

	int u, v, c, Cpy = M;
	while (M --)
	{
		cin >> u >> v >> c;
		if (c) add(u, v, c), add(v, u, c);
		else
		{
			Id.push_back(idx), add(u, v, 1);
			Id.push_back(idx), add(v, u, 1);
		}
	}
	M = Cpy;

	if (!Id.size())
	{
		if (Dijkstra() == L)
		{
			cout << "YES" << endl;
			for (int i = 0; i < idx; i += 2)
				cout << e[i ^ 1] << " " << e[i] << " " << w[i] << endl;
		}
		else
			cout << "NO" << endl;
		return 0;
	}

	int l = Id.size() / 2, r = L * M;
	while (l < r)
	{
		int mid = l + r >> 1;
		if (Check(mid) >= L) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}

	if (Check(r) != L)
	{
		cout << "NO" << endl;
		return 0;
	}

	cout << "YES" << endl;
	for (int i = 0; i < idx; i += 2)
		cout << e[i ^ 1] << " " << e[i] << " " << w[i] << endl;

	return 0;
}
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$\mathrm{Way}2$

从 $S$ 开始先做 $1$ 遍 Dijkstra，记当前 $L$ 与 $S$ 到 $T$ 的最短路的差值为 $Diff$（即 $Diff=L-D_{1,T}$）

之后再做第 $2$ 遍 Dijkstra 的时候，当点 $u$ 更新至点 $v$ 时且当前边为特殊边（初始变为 $0$），若 $D_{2,u}+w_i<D_{1,v}+Diff$，则说明这时候最短路长度少了，尽量要让其补上这缺失的部分，即 $w_i=D_{1,u}+Diff-D_{2,u}$。修改后，再进行正常 Dijkstra 的更新即可。

注：
$D_{1,i}$ 表示第 $1$ 次 Dijkstra 到达 $i$ 号点的最短路长度，$D_{2,i}$ 表示第 $2$ 次 Dijkstra 到达第 $i$ 号点的最短路长度。

$Code$

#include 
#define int long long

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;

const int SIZE = 2e4 + 10;

int N, M, L, S, T;
int h[SIZE], e[SIZE], ne[SIZE], w[SIZE], f[SIZE], idx;
int D[2][SIZE], Vis[SIZE];

void add(int a, int b, int c)
{
	if (!c) f[idx] = 1;
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = max(1ll, c), h[a] = idx ++;
}

void Dijkstra(int dist[], int Turn)
{
	for (int i = 0; i < N; i ++)
		dist[i] = 1e18, Vis[i] = 0;
	priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> Heap;
	Heap.push({0, S}), dist[S] = 0;

	while (Heap.size())
	{
		auto Tmp = Heap.top();
		Heap.pop();

		int u = Tmp.second;
		if (Vis[u]) continue;
		Vis[u] = 1;

		for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if (Turn == 2 && f[i] && dist[u] + w[i] < D[0][j] + L - D[0][T])
				w[i] = w[i ^ 1] = D[0][j] + L - D[0][T] - dist[u];
			if (dist[j] > dist[u] + w[i])
			{
				dist[j] = dist[u] + w[i];
				Heap.push({dist[j], j});
			}
		}
	}
}

signed main()
{
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(0);

	memset(h, -1, sizeof h);

	cin >> N >> M >> L >> S >> T;

	int u, v, c;
	while (M --)
	{
		cin >> u >> v >> c;
		add(u, v, c), add(v, u, c);
	}

	Dijkstra(D[0], 1);
	if (L - D[0][T] < 0)
	{
		cout << "NO" << endl;
		return 0;
	}
	Dijkstra(D[1], 2);

	if (D[1][T] != L)
	{
		cout << "NO" << endl;
		return 0;
	}

	cout << "YES" << endl;
	for (int i = 0; i < idx; i += 2)
		cout << e[i ^ 1] << " " << e[i] << " " << w[i] << endl;

	return 0;
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