LeetCode算法题解（动态规划）|LeetCode343. 整数拆分、LeetCode96. 不同的二叉搜索树

一、LeetCode343. 整数拆分

题目链接：343. 整数拆分

题目描述：

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

算法分析：

定义dp数组及下标含义：

dp[i]表述正整数i拆分成k个正整数乘积所能够得到的最大值。

递推公式：

用一个j来遍历从1到i,得到两个dp[i]，即dp[i]=j*(i-j)(将整数i分成两个正整数j和i-j),和dp[i]=j*dp[i-j]。

所以dp[i] = max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]))。

初始化：

dp[0]和dp[1]初始化没有意义，所以我们初始化dp[2]=1(2拆分成两个1相乘)。

遍历顺序：

因为dp[2]已经初始化了，所以我们从3遍历到n。

代码如下：

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[2] = 1;//初始化
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j < i; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

时间复杂度o(n^2)，空间复杂度o(n)。

二、LeetCode96. 不同的二叉搜索树

题目链接：96. 不同的二叉搜索树

题目描述：

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

算法分析：

定义dp数组及下标含义：

dp[i]表示i个节点组成的二叉搜索树的种树。

递推公式：

j从1遍历到i，当j为头节点时，左子树有i-1个节点，左子树的种类数相当于dp[j-1]，右子树有i-j个节点，右子树的种类数相当于dp[i-j]。

所以dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j],j从1比那里遍历到i;

初始化:

dp[0]初始化为1（0的话会影响乘法结果），dp[1]初始化为1（一个节点的二叉搜索树只有一种情况）

遍历顺序：

i从2遍历到n，然后确定dp[i](dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j])。

如果结果有误打印dp数组检查验证。

代码如下：

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

时间复杂度o（n^2），空间复杂度o(n)

总结

这两道题还是比较难的，自己想很难有思路。