【数据结构】最小生成树（Kruskal算法）

一.基本思想

 设无向连通网为G=（V，E），令G的最小生成树为T=（U，TE），其初态为U=V，TE={},然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。

二.两种最小生成树算法比较 

Prim算法：

对点做操作，维护一个在最小生成树中的点的顶点集U，以及一个待处理点的顶点集V-U，每次找出链接这两个集合的最短边，构成最小生成树，并将顶点加入集合U，知道所有顶点都处理完毕。

Kruskal算法：

对边做操作，每次选出一条最短边，如果它和当前最小生成树不构成回路就将其加入最小生成树，否则将其删除，知道所有边都处理完毕。

三.克鲁斯卡尔算法的伪代码描述

1.初始化

U=V；TE={}

2.重复下述操作直到T中的连通分量个数为1

        2.1 在E中寻找最短边（u，v）；

        2.2 如果顶点u，v位于T的两个不同连通分量，则

                2.2.1 将边（u，v）并入TE；

                2.2.2 将这两个连通分量合为一个；

        2.3 标记边（u，v），使得（u，v）不参加后续最短边的选取

关键：如何判别被考察边的两个顶点是否位于两个连通分量

四.Kruskal算法需要解决的问题

1.图用哪种存储结构更合适？

如果采用邻接矩阵或者邻接表则需要搜索所有的边才能找到最短边

需要改进

2.边的排序问题

插入排序 O（n^2）

堆排序/快速排序 O（elog2e）

3.如何判别被考察边的两个顶点是否位于两个连通分量？ 

所属的树是否有相同的根节点。

五.数据结构的设计

1.图的存储结构

        因为Kruskal算法是依次对图中的边进行操作，因此考虑边集数组存储图中的边，为了提高查找速度，将边集数组按边上的权排序。

const int MaxEdge=100;
struct EdgeType{
    int from,to;//边依附的两个顶点
    int weight;//边上的权值
};
 
template <class T>
struct EdgeGraph{
    T vertex[MAX_VERTEX];//存放图顶点的数据
    EdgeType edge[MaxEdge];//存放边的数组
    int vertexNum,edgeNum;//图的顶点数和边数
};

2.连通分量

Kruskal算法实质上是使生成树以一种随意的方式生长，初始时，每个顶点构成一颗生成树。然后，每生长一次，就将两棵树合并，到最后合并成一棵树。

因此，可以设置一个数组parent[n]，元素parent[i]表示顶点i的双亲结点，初始时，parent[i]=-1，表示顶点i没有双亲，即该结点是所在生成树的根节点；对于边（u，v），设vex1和vex2分别表示两个顶点所在树的根结点，如果vex1！=vex2，则顶点u和v必位于不同的连通分量，令parent[vex2]=vex1，实现将两棵树合并。

六.代码

template <class T>
void Kruskal(struct EdgeGraph G){
    int i,num=0,vex1,vex2;//num用来记录生成树的边的条数
    int parent[G.vertexNum];
    
    
    for(i=0;i
        parent[i]=-1;//parent数组初始化
    }
    
    //对图G中的edge数组按照weight进行排序
    quickSort(G.edge, 0, G.edgeNum-1);
    
    for(i=0;i
        vex1=findRoot(parent, G.edge[i].from);
        vex2=findRoot(parent, G.edge[i].to);
        if(vex1!=vex2){
            outputMST(G.edge[i]);
            parent[vex2]=vex1;//合并生成树
            num++;
            if(num==G.vertexNum-1){
                return;
            }
        }
    }
    
}

const int MaxEdge=100;
struct EdgeType{
    int from,to;//边依附的两个顶点
    int weight;//边上的权值
};
 
template <class T>
struct EdgeGraph{
    T vertex[MAX_VERTEX];//存放图顶点的数据
    EdgeType edge[MaxEdge];//存放边的数组
    int vertexNum,edgeNum;//图的顶点数和边数
};
 
template <class T>
void Kruskal(struct EdgeGraph G);
 
int findRoot(int parent[],int v){
    int t=v;
    while(parent[t]>-1){
        t=parent[t];
    }
    return t;
}
 
int partition(EdgeType edge[],int first,int end);
void quickSort(EdgeType edge[],int first,int end);
void outputMST(EdgeType edge){
    cout<<"("<","<")"<
}