离散数学考前小记

数理逻辑

求前束范式的一般步骤：

1. 利用等值公式消去“$\to$”和“$\leftrightarrow$”
2. 否定深入
3. 改名
4. 前移量词

仅含有全称量词的前束范式称为SKOLEM标准形。
SKOLEM标准形的求解算法：

1. 先求谓词演算公式的前束范式
2. 使用n元函数干掉存在量词
3. 从左至右重复上述过程，直至公式中不含有存在量词

量词消去/引入规则

• 全称量词消去规则
• 全称量词引入规则
• 存在量词消去规则
• 存在量词引入规则

集合论

空集是唯一的
幂集定义
A是一个集合，存在一个集合，它是由A的所有子集为元素构成的集合，称它为集合A的幂集合，记为P(A)，也记为$2^A$。
P({Ø,{Ø}})={Ø,{Ø},{{Ø}}, {Ø,{Ø}}}
A是一个含有n个元素的集合，则幂集$2^A$ 中A的子集总数为$2^n$。

集合的基本运算

• 并运算
• 交运算
• 相对补运算（差运算）
• 绝对补运算（补运算）
• 对称差

加法公式：$|A_1\cup A_2|=|A_1|+|A_2|-|A_1\cap A_2|$
减法公式：$|A-B|=|A|-|A\cap B|$
包含排斥原理（多退少补公式）

集合关系

设Ｒ是从Ａ到Ｂ的一个二元关系，即$R\subseteq A\times B$
若$R=\varnothing$，称为空关系。
若$R=A\times B$，称为全域关系。
当A=B时，将全域关系记作$E_A$，即$E_A=A^2$
当A＝B时，记 I A = { < x , x > ∣ x ∈ A } I_A=\{ |x\in A \} IA​={<x,x>∣x∈A}称之为A上的恒等关系。
F ∘ G = { < x , y > ∣ ∃ z ( < x , z > ∈ G ∧ < z , y > ∈ F ) } F\circ G=\{ |\exist z(\in G\wedge\in F) \} F∘G={<x,y>∣∃z(<x,z>∈G∧<z,y>∈F)}
显然，$F\circ G\subseteq A\times F$，是一个从A到C的二元关系，称之为F与G的合成关系，也称为复合关系。

二元关系的表示方法

• 有序二元组
• 表
• 关系图
• 关系矩阵

域、限制、像

设A和B是两个集合，R是从A到B的一个二元关系，即$R\subseteq A\times B$。令
d o m R = { x ∣ ∃ y ( < x , y > ∈ R ) } domR=\{ x| \exist y(\in R) \} domR={x∣∃y(<x,y>∈R)}
r a n R = { y ∣ ∃ x ( < x , y > ∈ R ) } ranR=\{ y|\exist x(\in R) \} ranR={y∣∃x(<x,y>∈R)}
$fldR=domR\cup ranR$
分别称之为R的定义域、值域、域。
$R$在$A^{\prime }$上的限制： R ↾ A ′ = { < x , y > ∣ < x , y > ∈ F ∧ x ∈ A ′ } R\upharpoonright A'=\{ |\in F\wedge x\in A' \} R↾A′={<x,y>∣<x,y>∈F∧x∈A′}
$R$在$A^{\prime }$上的像：$R[A^{\prime }]=ran(R\upharpoonright A^{\prime })$
$dom{R}^{-1}=ranR$
$ran{R}^{-1}=domR$
复合的逆等于逆的复合，但次序要交换

关系的性质

• 自反性
• 反自反性
• 对称性
• 反对称性
• 传递性

等价关系、等价类、商集

等价关系：自反、对称、传递
若R是非空集合A上的等价关系，x是A中任意一个元素，令 [ x ] R = { y ∣ x ∈ A ∧ < x , y > ∈ R } [x]_R=\{y |x\in A\wedge\in R \} [x]R​={y∣x∈A∧<x,y>∈R}
$[x{]}_R$为x关于R的等价类，简记为$[x]$。是一个值的集合。
集合A关于等价关系R的商集：$A/R=\{[X{]}_R|x\in A\}$
x叫代表元
A={1,2,3}
R={<1,1>, <2,2>, <3,3>, <1,2>, <2,1>}

A / R = { [ 1 ] R , [ 2 ] R , [ 3 ] R } = { { 1 , 2 } , { 3 } } A/R=\{ [1]_R,[2]_R,[3]_R \}=\{ \{1,2\},\{3\} \} A/R={[1]R​,[2]R​,[3]R​}={{1,2},{3}}

集合的划分

若给定集合A上的一个划分π，可以在A上定义一个二元关系R，使得R成为A上的一个等价关系，且有：$A/R=\pi$

偏序关系、偏序集

设A是一个非空集合，R是A上的一个二元关系，若R有自反性、反对称性、传递性，则称R是A上的一个偏序关系。并称(A,R)是一个偏序集。
一个偏序集，通常用符号$(A,\le )$来表示
一个偏序集$(A,\le )$，包含集合A与集合A上的偏序关系$\le$。

• 不允许$x\in (A,\le )$出现
• 而仅有$x\in A$，或$<x,y>\in \le$。

谈到元素是从A中取，讲到关系是在$\le$中取。
对于任意的$x,y\in A$，若$x\le y$或者$y\le x$，则说x与y可比，否则说x与y不可比。

• A={1,2,3,4}
• R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,4>}

R是A上一个偏序关系。3与4不可比。

覆盖、哈斯图(Hasse Diagram)

设偏序集$(A,\le )$，A是一个有限集，|A|=n。
如果不存在$z\in A$，使得$x\le z$，且$z\le y$，那么称y覆盖x，或称y盖住x。
哈斯图：这个图形有n个顶点，每一个顶点表示A中一个元素，两个顶点x与y，若有y覆盖x，则点x在点y的下方，且两点之间有一条直线相连结。
设A={{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,5},{3,6},{4,6},{0,3,6},{1,5,8},{0,3,4,6}}
R是A上的一个偏序关系：对于任意的$x,y\in A$，$<x,y>\in R$当且仅当$x\subseteq y$。
如果A中的任意两个元素都是可比的，那么称$(A,\le )$为全序集，并称$\le$为$A$上的全序关系。
一个有限的偏序集，一定有极大元和极小元，但不一定有最大元和最小元。

设a和b是A中的两个元素。如果A一个元素c满足$a\le c$且$b\le c$，说c是a和b的上界。
如果c是a和b的上界，并且若存在a和b的任意一个上界d，则有$c\le d$，称c为元素a和b的最小上界，记为lub{a,b}=c。
如果A一个元素c满足$c\le a$且$c\le b$，说c是a和b的下界。
如果c是a和b的上界，并且若存在a和b的任意一个下界d，则有$d\le c$，称c为元素a和b的最大下界，记为glb=c。
若对于任意的元素a和b属于A，在A中存在a和b的最小上界及最大下界，则称$(A,\le )$是一个格。

函数

设A和B是两个非空集合，f是$A\times B$的一个子集，即$f\subseteq A\times B$。若对于任意的x∊A，存在唯一的$y\in B$，使得$<x,y>\in f$，则称f是从A到B的一个函数(映射)。

• $domf=A$
• $ranf\subseteq B$

函数相等：$f=g\iff f\subseteq g\wedge g\subseteq f$
$B^A$读作“B上A”：所有从A到B的函数构成的集合。
B A = { f ∣ f : A → B } B^A=\{ f|f:A\rightarrow B \} BA={f∣f:A→B}
如果$|A|=m(\ne 0)$，$|B|=n(\ne 0)$，则$|B^A|=n^m$。

像、像源集

设$f:A\to B$，$A^{\prime }\subseteq A$，令 f ( A ′ ) = { f ( x ) ∣ x ∈ A ′ } f(A')=\{ f(x)|x\in A' \} f(A′)={f(x)∣x∈A′}，称为$A^{\prime }$在$f$下的像。
当$A^{\prime }=A$时，称$f(A^{\prime })=f(A)=ranf$是函数的像（值域）

设$f:A\to B$，$B^{\prime }\subseteq B$，令 f − 1 ( B ′ ) = { x ∈ A ∣ f ( x ) ∈ B ′ } ⊆ A f^{-1}(B')=\{ x\in A|f(x)\in B' \}\subseteq A f−1(B′)={x∈A∣f(x)∈B′}⊆A称之为$B^{\prime }$的像源集。

单射、满射、双射

f单射意味着：$f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$
若$ranf=f(A)=B$，则$f:A\to B$是满射函数。
若f既是单射函数，又是满射函数，则称f是双射函数，也叫一一对应的函数。

常函数、恒等函数（恒等关系）、单调函数

常函数：值是个常数
恒等函数：$I_A(x)=x$
单调函数
特征函数：有就是1，没有就是0
自然映射：$g(a)=[a],\forall a\in A$

设A，B是两个集合，若存在f:A→B，且f是双射函数，则称集合A与集合B的势相等，记为|A|=|B|
设A为可数无限集，记$|A|={\aleph }_0$，读作“阿列夫零”

复合函数、反函数

函数的复合：二元关系的复合
反函数：不等于二元关系的逆，双射函数才有反函数

函数的逆关系不一定是个函数。
双射函数的逆关系是一个双射函数。

图

无序积、多重集

无序积中的元素是两个元素的集合{a,b}，其中a与b不分次序。不宜将{a,b}记作为(a,b)，一般认为(a,b)=中a与b是有次序的。

• A & B = { { x , y } ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } A\&B=\{\{x,y\}|x\in A\wedge y\in B\} A&B={{x,y}∣x∈A∧y∈B}

约定一个多重集是一些对象的总体，但这些对象不必不同。一个元素的重数是它在该多重集里出现的次数。集合仅是多重集中重数仅为0和1的特殊情况

• {a,a,a,b,b,c}

无向图、有向图

设V是一个非空有限集合，E是无序积V&V的一个多重子集，则称二元组G=(V,E)是一个无向图。

设V是一个非空有限集合，E是笛卡尔积V×V的一个多重子集，则称二元组G=(V,E)是一个无向图。

多重图、简单图

通常用G表示无向图，D表示有向图，也常用G泛指无向图和有向图。
V(G),E(G),V(D),E(D)：G和D的顶点集, 边集
**n**阶图：n个顶点的图
零图: $E=\varnothing$
平凡图：1阶零图
空图：$V=\varnothing$
端点、相邻、关联次数、孤立点、环
在无向图中，如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。
在有向图中，如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点，则称这些边为有向平行边，简称平行边，平行边的条数称为重数。
含平行边的图称为多重图。
既无平行边也无环的图称为简单图。

度、握手定理

点的入度、出度、度
图的最大出度、最小出度、最大入度、最小入度、最大度、最小度
悬挂顶点、悬挂边
握手定理：$\Sigma d(v)=2|E|$
在一个图中，度数为奇数的顶点必有偶数个。
顶点度序列：顶点度序列是一组正整数，每一个数对应某一个顶点的度数。

完全图

n阶无向完全图：每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图
n阶有向完全图：每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图
子图、母图、生成子图、真子图、导出子图
补图

无向图的同构

任意两个同构的无向图，一定有一个同样的顶点度序列。
一个无向简单图如果同构于它的补图，则称这个图为自互补图。

通路、回路、图的连通性

通路：顶点序列、边序列、顶点与边的交替序列。
称一条通路经过的边的多少为这条通路的长度。
称两个顶点间的最短通路的长度为该两个顶点间的距离。
称一条通路为简单通路，如果它的每一条边都不重复出现。
称一条通路为初等通路，如果它的每一个顶点都不重复出现。

若一个回路中边不重复出现，则称之为简单回路。
若一个回路中顶点不重复出现，则称之为初等回路，又称之为圈。

环是长度为1的圈；
两条平行边构成长度为2的圈；
在无向简单图中, 所有圈的长度$\ge 3$
在有向简单图中, 所有圈的长度$\ge 2$
在n阶图G中，若从顶点u到v$(u\ne v)$存在通路，则从u到v存在长度小于等于$n-1$的初级通路
在n阶图G中，若存在v到自身的简单回路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路
连通：无向图中有通路
可达：有向图中有通路
连通是等价关系（规定u与自身总连通）
可达具有自反性和传递性（规定u到自身总是可达的）

连通图

连通分支、连通分支数
强连通$\Rightarrow$单向连通$\Rightarrow$弱连通
强连通与单向连通图判别法：

• D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路。
• D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路。

点割集(割点)，点连通度

如果全部擦除$V^{\prime }$中的顶点以及相应的边，所剩下的图的连通分支个数增加，并且部分擦除$V^{\prime }$中的顶点以及相应的边，所剩下的图的连通分支个数不变。
当点割集$V^{\prime }$为单点集 { v 1 } \{ v_1 \} {v1​}时，称该顶点$v_1$为割点。
称点割集中最小顶点数$min|V^{\prime }|$为点连通度。

边割集 (割边/桥)，边连通度

如果全部擦除$E^{\prime }$中的边，所剩下的图的连通分支个数增加，并且部分擦除$E^{\prime }$中的边，所剩下的图的连通分支个数不变。
当割边集$E^{\prime }$为单点集 { e 1 } \{ e_1 \} {e1​}时，称该边$e_1$为割边，或桥。
称边割集中的最小边数$min|E^{\prime }|$为边连通度。

点连通度$\le$边连通度$\le$顶点最小度

无向图的关联矩阵