安徽某高校《数学建模》上机习题1选讲（建立范德蒙矩阵；解线性方程组）

（工具：matlab）

第一题：

利用自己的学号建立一个维数为n的行向量a1; (n为学号所含数字个数)

建立n阶Vandermonde（范德蒙）矩阵A, A的第二行向量为a1

【假设笔者学号为：114514】

方法一：直接生成法

最简单直接的方法，调用matlab中的vander()函数直接生成：

clc,clear,close all
A = vander([1,1,4,5,1,4])

但是我们这样做会有一个问题，我们发现生成的矩阵是这样的：

A =
 
           1           1           1           1           1           1
           1           1           1           1           1           1
        1024         256          64          16           4           1
        3125         625         125          25           5           1
           1           1           1           1           1           1
        1024         256          64          16           4           1

这显然不符合题目的要求：希望我生成的第二行是我的学号114514，

所以我们只需要调用rot90()函数，将我们生成的矩阵逆时针旋转90度就可以了：

clc,clear,close all
A1 = vander([1,1,4,5,1,4])
A2 = rot90(A1)

生成的矩阵A2就是我们的目标矩阵：

A2 =
 
           1           1           1           1           1           1
           1           1           4           5           1           4
           1           1          16          25           1          16
           1           1          64         125           1          64
           1           1         256         625           1         256
           1           1        1024        3125           1        1024

方法二：“中间矩阵”法

我们也可以先建立两个矩阵A1，B1：

clc,clear,close all
A1 = [1,1,4,5,1,4]
B1 = reshape(0:5,6,1)

它们的结果是：

A1 =
 
     1     1     4     5     1     4
 
 
B1 =
 
     0
     1
     2
     3
     4
     5

接下来我们利用repmat()函数生成有重复内容的矩阵A2，B2：

clc,clear,close all
A1 = [1,1,4,5,1,4]
B1 = reshape(0:5,6,1)
A2 = repmat(A1,6,1)
B2 = repmat(B1,1,6)

生成的A2，B2：

A2 =
 
     1     1     4     5     1     4
     1     1     4     5     1     4
     1     1     4     5     1     4
     1     1     4     5     1     4
     1     1     4     5     1     4
     1     1     4     5     1     4
 
 
B2 =
 
     0     0     0     0     0     0
     1     1     1     1     1     1
     2     2     2     2     2     2
     3     3     3     3     3     3
     4     4     4     4     4     4
     5     5     5     5     5     5

我们不难发现，对于我们的目标范德蒙矩阵，A2可以看作目标矩阵的“底数矩阵”，B2可以看作目标矩阵的“指数矩阵”，所以我们只需要将这两个矩阵结合一下：

clc,clear,close all
A1 = [1,1,4,5,1,4]
B1 = reshape(0:5,6,1)
A2 = repmat(A1,6,1)
B2 = repmat(B1,1,6)
M = A2.^B2

就可以生成目标矩阵了：

M =
 
           1           1           1           1           1           1
           1           1           4           5           1           4
           1           1          16          25           1          16
           1           1          64         125           1          64
           1           1         256         625           1         256
           1           1        1024        3125           1        1024

第二题：解线性方程组

方法一：我们可以利用左除符号“\”，对方程组进行直接求解：

clc,clear,close all
A = [2,5,-8;4,3,-9;2,3,-5;1,8,-7]
B = [8,9,7,12]'
x = A\B

得出结果：

x =
 
    3.0000
    2.0000
    1.0000

方法二：与左除同理，我们也可以用A的逆矩阵去乘B，然而A是非方阵，非方阵是没有逆矩阵的，但是会存在一个广义逆（也称伪逆），用pinv()函数求得，同样可以帮助我们解决问题：

clc,clear,close all
A = [2,5,-8;4,3,-9;2,3,-5;1,8,-7]
B = [8,9,7,12]'
x = pinv(A)*B

得出结果：

x =
 
    3.0000
    2.0000
    1.0000

方法三：我们也可以使用linsolve()函数对方程组进行直接求解：

clc,clear,close all
A = [2,5,-8;4,3,-9;2,3,-5;1,8,-7]
B = [8,9,7,12]'
x = linsolve(A,B)

同样可以得出结果：

x =
 
    3.0000
    2.0000
    1.0000

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