【每日一题】53. 最大子数组和-2023.11.20

题目：

53. 最大子数组和

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• -104 <= nums[i] <= 104

进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

解答：

一句话题解：

这是一道典型的使用「动态规划」解决的问题，需要我们掌握动态规划问题设计状态的技巧（无后效性），并且需要知道如何推导状态转移方程，最后再去优化空间。

方法一：动态规划

「力扣」第 53 题（最大子序和）是「力扣」第 124 题（二叉树的最大路径和）的线性版本，它们的状态设计思想和状态转移是类似的，希望大家能够通过本题题解进一步体会状态是如何想到的（即子问题的定义需要从哪些方面考虑）。

本题接的重点在「关键 1：理解题意」和「关键 2：如何定义子问题（如何定义状态）」和「最后再谈谈「无后效性」。

关键 1：理解题意

题目要我们找出和最大的连续子数组的值是多少，「连续」是关键字，连续很重要，不是子序列。

题目只要求返回结果，不要求得到最大的连续子数组是哪一个。这样的问题通常可以使用「动态规划」解决。

关键 2：如何定义子问题（如何定义状态）

设计状态思路：把不确定的因素确定下来，进而把子问题定义清楚，把子问题定义得简单。动态规划的思想通过解决了一个一个简单的问题，进而把简单的问题的解组成了复杂的问题的解。

友情提示：上面这句话大家姑且这么一看，脑子里有个印象，没有那么绝对。可能不同的人看会有不同的理解。如果我以后讲解的动态规划的设计思想与这里讲解的「设计状态思路」不一样的，我会再和大家说明。如果讲解有误导的地方，还请大家指出。，

我们 不知道和最大的连续子数组一定会选哪一个数，那么我们可以求出 所有 经过输入数组的某一个数的连续子数组的最大和。

例如，示例 1 输入数组是 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] ，我们可以求出以下子问题：

子问题 1：经过 −2的连续子数组的最大和是多少；
子问题 2：经过 1的连续子数组的最大和是多少；
子问题 3：经过 −3-的连续子数组的最大和是多少；
子问题 4：经过 4的连续子数组的最大和是多少；
子问题 5：经过 −1的连续子数组的最大和是多少；
子问题 6：经过 2的连续子数组的最大和是多少；
子问题 7：经过 1的连续子数组的最大和是多少；
子问题 8：经过 −5的连续子数组的最大和是多少；
子问题 9：经过 4的连续子数组的最大和是多少。
一共 9 个子问题，这些子问题之间的联系并没有那么好看出来，这是因为 子问题的描述还有不确定的地方（这件事情叫做「有后效性」，我们在本文的最后会讲解什么是「无后效性」）。

例如「子问题 3」：经过 −3的连续子数组的最大和是多少。

「经过 −3 的连续子数组」我们任意举出几个：

[-2,1,-3,4] ，−3是这个连续子数组的第 3 个元素；
[1,-3,4,-1] ，−3是这个连续子数组的第 2 个元素；
……
我们不确定的是：−3是连续子数组的第几个元素。那么我们就把 −3定义成连续子数组的最后一个元素。在新的定义下，我们列出子问题如下：

子问题 1：以 −2结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 2：以 1结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 3：以 −3结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 4：以 4结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 5：以 −1结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 6：以 2结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 7：以 1结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 8：以 −5结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 9：以 4结尾的连续子数组的最大和是多少。
我们加上了「结尾的」，这些子问题之间就有了联系。我们单独看子问题 1 和子问题 2：

子问题 1：以 −2结尾的连续子数组的最大和是多少；
以 −2结尾的连续子数组是 [-2]，因此最大和就是 −2。

子问题 2：以 1结尾的连续子数组的最大和是多少；
以 1结尾的连续子数组有 [-2,1] 和 [1] ，其中 [-2,1] 就是在「子问题 1」的后面加上 1 得到。−2+1=−1<1 ，因此「子问题 2」 的答案是 1。

大家发现了吗，如果编号为 i 的子问题的结果是负数或者 0 ，那么编号为 i + 1 的子问题就可以把编号为 i 的子问题的结果舍弃掉（这里 i 为整数，最小值为 1 ，最大值为 8），这是因为：

一个数 a 加上负数的结果比 a 更小；
一个数 a 加上 0的结果不会比 a 更大；
而子问题的定义必须以一个数结尾，因此如果子问题 i 的结果是负数或者 0，那么子问题 i + 1 的答案就是以 nums[i] 结尾的那个数。
因为我们把子问题定义的更清楚，子问题之间的联系就容易观察到。这是我们定义子问题、定义状态的经验。

接下来我们按照编写动态规划题解的步骤，把「状态定义」「状态转移方程」「初始化」「输出」「是否可以空间优化」全都写出来。

定义状态（定义子问题）
dp[i]：表示以 nums[i] 结尾 的 连续 子数组的最大和。

说明：「结尾」和「连续」是关键字。

状态转移方程（描述子问题之间的联系）
根据状态的定义，由于 nums[i] 一定会被选取，并且以 nums[i] 结尾的连续子数组与以 nums[i - 1] 结尾的连续子数组只相差一个元素 nums[i] 。

假设数组 nums 的值全都严格大于 0，那么一定有 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]。

可是 dp[i - 1] 有可能是负数，于是分类讨论：

如果 dp[i - 1] > 0，那么可以把 nums[i] 直接接在 dp[i - 1] 表示的那个数组的后面，得到和更大的连续子数组；
如果 dp[i - 1] <= 0，那么 nums[i] 加上前面的数 dp[i - 1] 以后值不会变大。于是 dp[i] 「另起炉灶」，此时单独的一个 nums[i] 的值，就是 dp[i]。
以上两种情况的最大值就是 dp[i] 的值，写出如下状态转移方程：

代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
       int res=nums[0];
       for(int i=1;i<nums.length;i++){
           nums[i]+=Math.max(nums[i-1],0);
           res=Math.max(res,nums[i]);
       }
       return res;
    }
}

结果：