【机器学习基础】正则化

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💡本期内容：针对前面的三个模型，在使用他们进行实际预测与分类时，会产生一系列对于不同的数据集的特别的问题，这篇文章就来有针对性的说一下！

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1 过拟合问题

如果我们有非常多的特征，我们通过学习得到的假设可能能够非常好地适应训练集（代价函数可能几乎为 0），但是可能会不能推广到新的数据。

1.1 回归问题中的过拟合

在线性回归中，我们可能遇到上面这几个问题：
第一个属于高偏差，欠拟合，不能很好地适应我们的训练集；
第三个属于高方差，模型过于强调拟合原始数据，而不能适应新的数据集，属于过拟合。
我们可以看出，若给出一个新的值使之预测，它将表现的很差，是过拟合，虽然能非常好地适应我们的 训练集但在新输入变量进行预测时可能会效果不好；而中间的模型似乎最合适。

1.2 分类问题中的过拟合

同样，在逻辑回归中，我们也可能遇到这些问题：

𝑥 的次数越高，拟合的越好，但相应的预测的能力就可能变差。

1.3 如何解决

问题是，如果我们发现了过拟合问题，应该如何处理？

1. 丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一 些模型选择的算法来帮忙（例如 PCA）
2. 正则化。 保留所有的特征，但是减少参数的大小（magnitude）。

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2 代价函数（cost function）

上面的回归问题中如果我们的假设函数是$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2^2+{\theta }_3{x}_3^3+{\theta }_4{x}_4^4$

我们可以从之前的事例中看出，正是那些高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能让这些高次项的系数接近于 0 的话，我们就能很好的拟合了。 所以我们要做的就是在一定程度上减小这些参数𝜃 的值，这就是正则化的基本原理。我 们决定要减少𝜃3和𝜃4的大小，我们要做的便是修改代价函数，在其中𝜃3和𝜃4 设置一点惩罚。 这样做的话，我们在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小 一些的𝜃3和𝜃4。

这样做的目的是弱化特征对拟合模型的影响，在不减少特征的情况下改变特征的权重。

2.1 正则化参数

然而我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，我们将对所有的特征进行惩罚， 并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。

将这样的想法与前面线性回归模型中的代价函数结合后，得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的代价函数：

其中𝜆又称为正则化参数（Regularization Parameter）。

注：根据惯例，我们不对𝜃0 进 行惩罚。

如果选择的正则化参数 λ 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 ℎ𝜃 (𝑥) = 𝜃0，造成欠拟合。

• 为什么𝜆可以使𝜃的值减小呢

为如果我们令 𝜆 的值很大的话，为了使 Cost Function 尽可能的小，所有的 𝜃 的值 （不包括𝜃0）都会在一定程度上减小。

但若 λ 的值太大了，那么𝜃（不包括𝜃0）都会趋近于 0，这样我们所得到的只能是一条 平行于𝑥轴的直线。 所以对于正则化，我们要取一个合理的 𝜆 的值，这样才能更好的应用正则化。

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3 基于正则化的线性回归

对于线性回归的求解，我们之前推导了两种学习算法：一种基于梯度下降，一种基于正规方程。
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3.1 加入正则化参数后的梯度下降算法

那么加入了正则化之后的线性回归代价函数变成了这样：

如果我们要使用梯度下降法求这个代价函数最小值，则梯度下降算法如下所示:

• 原理：

在𝜃_j的系数变为（1-a𝜆/m）,因为通常学习率a会较小，而m样本数量会较大，所以这个系数会很接近于1。可以看出正则化的梯度下降算法的变化在于，每次都在原有算法更新规则的基础上令𝜃减少一个额外的值（即每一次梯度下降都会对参数𝜃进行惩罚）。

3.2 加入正则化参数后的正规方程

假设输入和输出矩阵如下所示

$\theta$也是一个$n+1$维的矩阵，将他们代入代价函数后，展开并化简，就得到了带正则化项的正规方程：

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4 基于正则化的逻辑回归

针对逻辑回归问题，我们已经学习过两种优化算法：我们首先学习了使用梯度下降法来优化代价函数𝐽(𝜃)，接下来学习了更高级的优化算法，这些高级优化算法需要你自己设计代价函数𝐽(𝜃)

自己计算导数同样对于逻辑回归，我们也给代价函数增加一个正则化的表达式，得到代价函数：

要最小化该代价函数，可以通过梯度下降算法：