【数据挖掘 & 机器学习 | 时间序列】时间序列必备工具箱: 自相关与偏相关检验

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【数据挖掘 & 机器学习 | 时间序列】时间序列必备工具箱: 自相关与偏相关检验 作者： 计算机魔术师 版本： 1.0 （ 2023.11.18 ）

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时间序列问题

和回归分析模型的预测不同，时间序列模型是依赖于事件发生的先后顺序的，同样大小的值改变顺序后输入模型产生的结果是不同的。首先需要明确一点的是，时间序列可以分为平稳序列，即存在某种周期，季节性及趋势的方差和均值不随时间变化的序列，及非平稳序列。

传统预测方法可以分为两种，一种是更加传统的，如移动平均法，指数平均法等；一种是用的还算较多的，即AR,MA,ARMA等，下面主要介绍一下这三种方法，这类方法比较适用于小规模，单变量的预测，比如某门店的销量预测等。

序列检验

在对时间序列进行建模时，我们需要对时间序列数据进行必要的检验，以下是平稳性检验及白噪声检验等。

ADF & PACF

自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）是用于分析时间序列数据的常用工具。它们可以帮助我们确定时间序列数据中的自相关和偏自相关结构，从而选择合适的模型来进行预测和分析。

首先，让我们了解一下自相关和偏自相关的概念。

自相关是指时间序列数据与其自身在不同时间点的相关性。简单来说，它衡量了时间序列数据在过去时间点与当前时间点之间的相关性。自相关函数（ACF）用于度量自相关的强度。

偏自相关是指在控制其他时间点的影响后，某一时间点与当前时间点之间的相关性。也就是说，偏自相关关注的是两个时间点之间的直接关系，而忽略了其他时间点的影响。偏自相关函数（PACF）用于度量偏自相关的强度。

ACF和PACF之间存在密切的关系，可以互相推导和解释。下面是它们的大致原理和关系：

1. ACF的计算方法：

   • 计算时间序列数据在不同滞后（lag）时间点上的相关性。
   • ACF图通常展示了滞后时间和相关性之间的关系。

2. PACF的计算方法：

   • 首先，假设我们要计算PACF的滞后阶数为k。
   • 然后，我们建立一个线性回归模型，使用前k个滞后值作为自变量，当前值作为因变量。
   • PACF就是回归模型的最后一个滞后系数，它表示当前值与滞后k个时间点之间的直接关系，消除了其他滞后时间点的影响。

3. ACF和PACF之间的关系：

   • PACF是ACF的衍生物，它反映了ACF中与当前时间点直接相关的部分。
   • 当滞后阶数增加时，PACF的值会逐渐趋于零，而ACF的值可能会持续存在非零相关性。
   • 当PACF在某个滞后阶数k之后变为零时，意味着在这个滞后阶数之后的时间点与当前时间点之间没有直接关系，只有间接关系。
   • 因此，PACF可以帮助我们确定时间序列数据的滞后阶数，从而选择合适的AR（自回归）模型。

为了更好地理解ACF和PACF，你可以将它们想象成一个投影。ACF是将时间序列数据投影到不同滞后时间点上的相关性，而PACF则是在控制其他滞后时间点的影响后，将时间序列数据投影到当前时间点上的相关性。

Augmented Dickey-Fuller (ADF)

ADF代表"Augmented Dickey-Fuller"，即"增广迪基-富勒"。ADF检验是一种常用的单位根检验方法，用于确定时间序列数据是否具有单位根（即非平稳性）。它是由迪基和富勒在1981年提出的，DF检验只能应用于一阶情况，当序列存在高阶的滞后相关时，可以使用ADF检验，所以说ADF是对DF检验的扩展。

ADF检验就是判断序列是否存在单位根：如果序列平稳，就不存在单位根；否则，就会存在单位根。

所以，ADF检验的 H0 假设就是存在单位根，如果得到的显著性检验统计量小于三个置信度（10%，5%，1%），则对应有（90%，95，99%）的把握来拒绝原假设。

以下是ADF算法的具体步骤：

步骤1：对原始时间序列进行差分，直到得到一个差分序列，使其具有更好的平稳性。计算一阶差分序列：$Y_t=X_t-X_{t-1}$。

步骤2：构建回归方程。将差分序列$Y_t$作为因变量，前向滞后差分序列$Y_{t-1}$作为自变量，构建回归方程：$Y_t=\alpha +\beta Y_{t-1}+{\epsilon }_t$，其中$\alpha$和$\beta$是回归系数，${\epsilon }_t$是误差项。

步骤3：对回归方程进行估计，并计算残差。使用最小二乘法估计回归方程的系数$\hat{\alpha }$和$\hat{\beta }$。然后计算残差序列$\widehat{{\epsilon }_t}$，表示观测值和回归方程的预测值之间的差异。

步骤4：进行单位根检验。对残差序列$\widehat{{\epsilon }_t}$进行单位根检验，以确定时间序列的平稳性。ADF测试统计量的计算公式为：

$$ADF=\frac{\hat{\beta }}{\text{标准误}}\text{(1)}$$

其中，$\hat{\beta }$是ADF回归系数是ADF检验回归模型中时间趋势系数（β）的估计值，ADF标准误差是ADF回归系数的标准误差。。该统计量的值与临界值进行比较，以确定是否可以拒绝原假设。（用估计量除以估计量的标准误。）

步骤5：确定临界值。ADF测试的临界值取决于所选的显著性水平（例如5%或1%）。根据不同的样本量和回归方程的特性，可以使用预先计算的临界值表或近似公式来确定临界值。

步骤6：进行统计显著性检验。将ADF统计量与对应的临界值进行比较。如果ADF统计量的绝对值大于临界值，则可以拒绝原假设，并得出时间序列是平稳的结论。否则，不能拒绝原假设，时间序列被认为具有单位根，即非平稳。

请注意，ADF测试还可以进行更高阶的差分，以进一步提高时间序列的平稳性。对于更高阶差分，ADF测试的公式和步骤类似，只是回归方程和单位根检验统计量的计算会有所不同。

ADF检验可以通过python中的 statsmodels 模块，这个模块提供了很多统计模型。

# 定义单位根检验函数
def testStationarity(ts):
    dftest = ADF(ts)
    # 对ADF求得的值进行语义描述
    dfoutput = pd.Series(dftest[0:4], index = ['Test Statistic','p-value','#Lags Used',
                                               'Number of Observations Used'])
    for key, value in dftest[4].items():
        dfoutput['Critical Value (%s)'%key] = value
    return dfoutput
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Partial Autocorrelation Function（PACF）

PACF（Partial Autocorrelation Function，偏自相关函数）是用于时间序列分析的一种工具，它衡量了一个时间序列在给定滞后阶数的情况下，与自身滞后的系数相关性。PACF在建立自回归模型（AR）时非常有用，它帮助确定AR模型的滞后阶数。

PACF算法的详细步骤

1. 假设有一个时间序列数据 $X_t$，其中 $t=1,2,\dots ,n$。

2. 首先，计算原始数据的自相关系数（ACF）。

   自相关系数定义为：
   $${\rho }_k=\frac{\text{Cov}(X_t,X_{t-k})}{\sqrt{\text{Var}(X_t)\cdot \text{Var}(X_{t-k})}}$$
   其中，$k$ 是滞后阶数，$\text{Cov}(X_t,X_{t-k})$ 是 $X_t$ 和 $X_{t-k}$ 的协方差，$\text{Var}(X_t)$ 和 $\text{Var}(X_{t-k})$ 分别是 $X_t$ 和 $X_{t-k}$ 的方差。

   计算自相关系数 ${\rho }_k$ 的方法有多种，常用的是Pearson相关系数或样本自相关函数。

3. 然后，我们要计算偏自相关系数（PACF）。

   偏自相关系数定义为：
   $${\varphi }_{kk}=\text{Corr}(X_t,X_{t-k}|X_{t-1},X_{t-2},\dots ,X_{t-(k-1)})$$
   其中，$\text{Corr}(X_t,X_{t-k}|X_{t-1},X_{t-2},\dots ,X_{t-(k-1)})$ 表示在给定 $X_{t-1},X_{t-2},\dots ,X_{t-(k-1)}$ 的条件下，$X_t$ 和 $X_{t-k}$ 的相关系数。

   偏自相关系数反映了两个变量之间的线性关系，排除了其他变量的影响，因此在建立AR模型时非常有用。

4. PACF的计算可以通过递归方法进行，具体推导如下：

   a. 首先，初始化 $k=1$，并假设 ${\varphi }_{11}={\rho }_1$。

   b. 对于 $k>1$，计算 ${\varphi }_{kk}$ 的值。

   i. 通过回归分析，将 $X_t$ 回归到 $X_{t-k}$ 上，得到残差序列 $e_t$。

   ii. 计算残差序列 $e_t$ 的自相关系数 ${\rho }_k(e_t)$。

   iii. 计算 ${\varphi }_{kk}$ 的值：
   $${\varphi }_{kk}=\frac{{\rho }_k-{\sum }_{j=1}^{k-1}{\varphi }_{k-1,j}{\rho }_{k-j}}{1-{\sum }_{j=1}^{k-1}{\varphi }_{k-1,j}{\rho }_j}$$

   c. 重复步骤 b 直到计算出所有的 ${\varphi }_{kk}$。

5. 最后，根据计算得到的偏自相关系数 ${\varphi }_{kk}$，可以绘制PACF图，以帮助确定AR模型的滞后阶数。在PACF图中，滞后阶数为 $k$ 的偏自相关系数表示为 ${\varphi }_{kk}$。

这就是PACF算法的详细步骤和数学公式推导。通过计算偏自相关系数，我们可以确定AR模型的滞后阶数，从而更好地理解和预测时间序列数据。

参考文章：

http://t.csdnimg.cn/u7pIm

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