Leetcode刷题详解——猜数字大小 II

1. 题目链接：375. 猜数字大小 II

2. 题目描述：

我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：

1. 我从 1 到 n 之间选择一个数字。
2. 你来猜我选了哪个数字。
3. 如果你猜到正确的数字，就会 赢得游戏 。
4. 如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 更大或者更小 ，并且你需要继续猜数。
5. 每当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。如果你花光了钱，就会 输掉游戏 。

给你一个特定的数字 n ，返回能够 确保你获胜 的最小现金数，不管我选择那个数字 。

示例 1：

输入：n = 10
输出：16
解释：制胜策略如下：
- 数字范围是 [1,10] 。你先猜测数字为 7 。
    - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $7 。
    - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。你可以猜测数字为 9 。
        - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $9 。
        - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 10 。你猜测数字为 10 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。
        - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 8 。你猜测数字为 8 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。
    - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。
        - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $3 。
        - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。你可以猜测数字为 5 。
            - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $5 。
            - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 6 。你猜测数字为 6 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。
            - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 4 。你猜测数字为 4 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。
        - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。你可以猜测数字为 1 。
            - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $1 。
            - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $1 = $11 。
在最糟糕的情况下，你需要支付 $16 。因此，你只需要 $16 就可以确保自己赢得游戏。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

示例 2：

输入：n = 1
输出：0
解释：只有一个可能的数字，所以你可以直接猜 1 并赢得游戏，无需支付任何费用。
1
2
3

示例 3：

输入：n = 2
输出：1
解释：有两个可能的数字 1 和 2 。
- 你可以先猜 1 。
    - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $1 。
    - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $1 。
最糟糕的情况下，你需要支付 $1 。
1
2
3
4
5
6
7

提示：

• 1 <= n <= 200

3. 解法（记忆化搜索）：

3.1 算法思路：

1. 一个备忘录
2. 每次进入递归的时候，去备忘录里面看看
3. 每次返回的时候，将结果加入到备忘录里面

3.2算法流程：

1. 定义一个二维数组memo，用于存储已经计算过的子问题的解。这个数组的大小为201x201，其中memo[i][j]表示从第i个硬币到第j个硬币的最小翻转代价。
2. 定义一个函数getMoneyAmount(int n)，接收一个整数参数n，表示硬币的数量。这个函数的作用是调用dfs(1, n)来计算从第一个硬币到第n个硬币的最小翻转代价，并返回结果。
3. 定义一个函数dfs(int left, int right)，接收两个整数参数left和right，表示要计算的硬币范围。这个函数的作用是递归地计算从第left个硬币到第right个硬币的最小翻转代价。
4. 在dfs(int left, int right)函数中，首先检查是否已经计算过从第left个硬币到第right个硬币的最小翻转代价。如果已经计算过，则直接返回该解。
5. 如果还没有计算过，则初始化一个变量ret为最大整数。然后遍历从第left个硬币到第right个硬币的所有可能的硬币翻转位置。对于每个位置head，分别计算翻转前半部分和翻转后半部分的最小代价，并将它们相加得到当前位置的翻转代价。将这个代价与当前的ret进行比较，更新ret为较小的值。
6. 将计算出的最小翻转代价存入memo数组中，以便后续使用。
7. 最后，返回计算出的最小翻转代价。
   

3.3 C++算法代码：

class Solution {
    int memo[201][201]; // 定义一个二维数组memo，用于存储已经计算过的子问题的解
public:
    int getMoneyAmount(int n) {
        return dfs(1,n); // 调用dfs函数，传入参数1和n，返回结果
    }
    int dfs(int left,int right) // 定义一个dfs函数，接收两个参数left和right
    {
        if(left>=right) return 0; // 如果left大于等于right，说明已经没有硬币可以翻转了，返回0
        if(memo[left][right]!=0) return memo[left][right]; // 如果memo数组中已经存在left到right的解，直接返回该解
        int ret=INT_MAX; // 初始化ret为最大整数
        for(int head=left;head<=right;head++) // 遍历从left到right的所有可能的硬币翻转位置
        {
            int x=dfs(left,head-1); // 递归调用dfs函数，传入参数left和head-1，得到翻转前半部分的最小代价
            int y=dfs(head+1,right); // 递归调用dfs函数，传入参数head+1和right，得到翻转后半部分的最小代价
            ret=min(ret,head+max(x,y)); // 更新ret为当前位置翻转的代价加上翻转前后两部分的最小代价
        }
        memo[left][right]=ret; // 将计算出的解存入memo数组
        return ret; // 返回解
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21