差分详解（附加模板和例题）

一、一维差分

1.一维差分运用

设a[N]为原数组,b[N]为差分数组，c[N]为进行操作后得到的新数组

(1).先求出差分数组b[N]

for(i=1;i<=n;i++)
{
	cin>>a[i];
	b[i]=a[i]-a[i-1];
}

(2).进行差分操作，利用void insert(int l,int r,int  c)函数

void insert(int l,int r,int x)
{
	b[l]+=x;
	b[r+1]-=x;
}

(3).利用一维前缀和求出新数组c[N]

for(i=1;i<=n;i++)
{
	c[i]=c[i-1]+b[i];
}

2.一维差分相关例题和代码

输入：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出：

3 4 5 3 4 2

1.模拟过程

一维差分:
a[i]为原数组,b[i]为差分数组 ,c[i]为经过操作后得到的新数组 
b[i]=a[i]-a[i-1];//a[i]为b[i]的前缀和，即b[i]是a[i]的差分数组 
c[i]=c[i-1]+b[i];//c[i]为b[i]的前缀和 

a[i] 1 2 2  1 2  1
b[i] 1 1 0 -1 1 -1 
进行以下操作：
1 3 1
3 5 1
1 6 1

b[1]=b[1]+1=2
b[3+1]=-1-1=-2;
2 1 0 -2 1 -1
b[3]=0+1=1;
b[5+1]=-1-1=-2;
2 1 1 -2 1 -2
b[1]=2+1=3;
b[6+1]=0-1=-1
3 1 1 -2 1 -2
c[i] 3 4 5 3 4 2 

2.代码

#include
using namespace std;
const int N=1e5+100;
int a[N],b[N],c[N];
void insert(int l,int r,int x)
{
	b[l]+=x;
	b[r+1]-=x;
}
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		b[i]=a[i]-a[i-1];
	}
	while(m--)
	{
		int l,r,x;
		cin>>l>>r>>x;
		insert(l,r,x);
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		c[i]=c[i-1]+b[i];
		cout<' ';
	}
	cout<
	return 0;
}

二、二维差分

1.二维差分推导

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
	b[x1][y1]+=c;
	b[x2+1][y1]-=c;
	b[x1][y2+1]-=c;
	b[x2+1][y2+1]+=c;
} 

2.二维差分运用

1.先输入原数组a[N]

for(i=1;i<=n;i++)
{
	for(j=1;j<=m;j++)
	{
		cin>>a[i][j];
	}
}

2.将原数组a[N]中的每个数字，插入到空矩阵b[N]数组中（相当于插入了一个1*1矩阵）

for(i=1;i<=n;i++)
{
	for(j=1;j<=m;j++)
	{
		insert(i,j,i,j,a[i][j]);
	}
} 

3.再将左上角（x1,y1）,右上角（x2,y2）以及c，插入到insert()函数里面

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
	b[x1][y1]+=c;
	b[x2+1][y1]-=c;
	b[x1][y2+1]-=c;
	b[x2+1][y2+1]+=c;
} 

4.利用二维前缀和得到经过操作后的新数组c[N][N] 

for(i=1;i<=n;i++)//二维前缀和 
{
	for(j=1;j<=m;j++)
	{
		c[i][j]=c[i-1][j]+c[i][j-1]-c[i-1][j-1]+b[i][j];
	}
}

 3.相关例题

一、题目要求

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c其中 (x1,y1)和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 个整数 x1,y1,x2,y2,c表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

---

二、代码

//二维差分矩阵 
#include
#define endl '\n'
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
using namespace std;
const int N=1100;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int a[N][N],b[N][N],c[N][N];
int n,m,q;
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
	b[x1][y1]+=c;
	b[x2+1][y1]-=c;
	b[x1][y2+1]-=c;
	b[x2+1][y2+1]+=c;
} 
void solve()
{
	cin>>n>>m>>q;
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=m;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	//将a矩阵中的每个数插到空矩阵里面去
	//进行n*m次插入操作，即将每次插入的数看成1*1的矩阵
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=m;j++)
		{
			insert(i,j,i,j,a[i][j]);
		}
	} 
	while(q--)//得到差分矩阵 
	{
		int x1,x2,y1,y2,c;
		cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
		insert(x1,y1,x2,y2,c);
	}
	for(i=1;i<=n;i++)//前缀和 
	{
		for(j=1;j<=m;j++)
		{
			c[i][j]=c[i-1][j]+c[i][j-1]-c[i-1][j-1]+b[i][j];
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)//输出经过操作后的矩阵 
	{
		for(j=1;j<=m;j++)
		{
			cout<' ';
		}
		cout<
	}
}
signed main()
{
    int t=1;
    while(t--)
    {
       solve();
    }
    return 0;
}