自由曲线与曲面 -计算机图形学

目录

自由曲线与曲面 

函数的连续性  

（1）参数连续性

（2）几何连续性

bezier 曲线  

Bernstein基函数

*公式看不懂，带几个数进去看看，你就更好地可以看到这个公式的本质了

凸包性质  

仿射不变性

变差缩减性

de casteljau递推算法 

bezier曲线的拼接

魔术常数  

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自由曲线与曲面 

计算机辅助几何设计  

sutherland数字化甲壳汽车 

曲线与曲面的表示形式  

起点和终点  相当于是一个比例    很多个点或者线段   构造曲线  插值法  和 逼近法 

模拟曲线与真实曲线  曲线只是 存在于数学世界中 

多个点，之后跟点跟点连在一起   保存一千个点  

函数的连续性  

（1）参数连续性

第二层，结合点处 导数相同  （切线方向） 

交界点  要在一个水平线上 ，切线方向才是相同的   

第三层，相同的一阶导数和二阶导数 

在计算机图形学中，函数的参数连续性是指函数的输入参数在空间中的变化方式。具体而言，如果函数的输入参数在某个范围内变化时，函数的输出值也应该以某种方式相应地变化，而不是出现突然的跳变或不连续的情况。这种连续性对于图形学中的许多应用非常重要，例如渲染、动画和几何建模等。

在图形学中，常常涉及到对曲线、曲面或体素等进行插值、变形或变换操作。这些操作通常要求函数在参数空间内是连续的，以确保结果在视觉上是平滑和自然的。如果在参数空间内存在不连续性，可能会导致渲染中的伪影、形状变换中的奇异行为或者动画中的不连贯。

在数学上，连续性可以通过极限的概念来描述。如果函数在某一点的极限存在并与该点的函数值相等，那么这个函数在该点是连续的。在计算机图形学中，通常使用数值方法来处理连续性要求，例如在插值过程中确保插值点的平滑过渡。

总的来说，函数的参数连续性在计算机图形学中是一个关键的概念，它有助于确保图形操作的稳定性和视觉效果的质量。

（2）几何连续性

物理世界中的性质  成比例就可以  

函数的几何连续性是指函数图像在参数空间中的平滑性和连贯性。具体而言，如果函数表示的几何形状在参数变化的过程中没有突然的断裂、奇异点或者其他不连续的现象，那么就可以说该函数在几何上是连续的。

在计算机图形学中，常常涉及到描述和操作各种几何形状，如曲线、曲面、体素等。这些几何形状的几何连续性对于视觉效果的真实感和质量至关重要。

几何连续性可以有不同的级别：

1. 一阶几何连续性（G1连续性）： 表示在参数空间中，曲线或曲面的一阶导数连续。这意味着曲线或曲面在相邻的参数点处的切线是连续的。

2. 二阶几何连续性（G2连续性）： 表示在参数空间中，曲线或曲面的一阶和二阶导数都是连续的。这确保了曲线或曲面在相邻参数点处的切线和曲率都是连续的。

几何连续性在图形学中的应用非常广泛，例如在三维建模中，确保模型表面的平滑过渡；在动画中，确保物体的运动轨迹是流畅的。处理几何连续性通常需要使用数学方法和算法，如贝塞尔曲线和样条曲线等。

总体来说，函数的几何连续性是确保图形在参数空间中表现为连续和平滑的关键概念，对于实现高质量的计算机图形学效果至关重要。

如何去把自己在客观世界中清晰定位？

导数变化率相同   缓慢地 移到水平和垂直    

bezier 曲线  

那个时候的人活得不痛快

雷诺 

Bernstein基函数

 

*公式看不懂，带几个数进去看看，你就更好地可以看到这个公式的本质了

三次等于二阶  （又叫自由曲线）

三次bezier曲线 拥有四个点  展开公式 

t是 分成多少个线段 （定的细你就把t定的大，疏你就把t定的小）

填几个数来验证一下  ，很多数学公式都是用来糊弄人的 

很多公式看似很高端，但是实际上讲的事情很少 

控制他的起点和终点  一阶导数  

凸包性质  

不会超出画面  仿射不变性  所有的变换都叫仿射 （所有的变换形式  ，平移 、旋转等等）

仿射不变性

仿射的不变性  相对点与点之间不能变换  

变差缩减性

"变差缩减性"通常是指在一些数学和计算机图形学的上下文中的性质，特别是在曲线或曲面的插值和逼近方面。这种性质是指随着数据点或控制点的增加，插值或逼近的结果越来越接近被逼近的函数。这样的性质有助于确保逼近的准确性和稳定性。

在计算机图形学中，有一类插值方法和逼近方法，如样条曲线和曲面，它们被设计成具有变差缩减性。变差是一种度量曲线或曲面光滑度的方式，而变差缩减性表示增加控制点时，变差的总体趋势是减小的。

例如，B样条曲线和Bézier曲线都是常用的具有变差缩减性的曲线。这意味着增加曲线的控制点不会导致整体曲线的变差显著增加，从而使得曲线更加稳定和平滑。这对于图形设计和动画等应用非常重要，因为它确保了在进行形状编辑或变形时，曲线或曲面的整体质量能够得到保持。

总体而言，变差缩减性是一种关于数据逼近的重要性质，确保了在插值和逼近中增加更多的信息点时，逼近结果变得更为精确和稳定。

失去了梦想，失去了前途，如何向前？

de casteljau递推算法 

把公式简化 

第几个点和几阶的

bezier曲线的拼接

魔术常数  

涌现 量变产生质变  爆发式的增长   智能涌现