线性代数本质系列（二）矩阵乘法与复合线性变换，行列式，三维空间线性变换

本系列文章将从下面不同角度解析线性代数的本质，本文是本系列第二篇

向量究竟是什么？
向量的线性组合，基与线性相关
矩阵与线性相关
矩阵乘法与复合线性变换
三维空间中的线性变换
行列式
逆矩阵，列空间，秩与零空间
克莱姆法则
非方阵
点积与对偶性
叉积
以线性变换眼光看叉积
基变换
特征向量与特征值
抽象向量空间
快速计算二阶矩阵特征值
张量，协变与逆变和秩

矩阵乘法与复合线性变换

我们已经知道矩阵是一种线性变换，现在对基向量连续施加两种线性变换，例如，先旋转，再剪切，其实，这在整体上可以看作是一种新的变换，这个新的变换被称为前两种独立变换的“复合变换”。

这个复合变换的矩阵可以通过追踪基向量的坐标得到，如上图所示，变换后的$\vec{i}$坐标 [ 1 1 ]

[11​]，变换后的$\vec{j}$坐标 [ − 1 0 ]

[−10]" role="presentation" style="position: relative;">[−10]$$\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]$$

[−10​]，那么该复合变换矩阵就可以表示为： [ 1 − 1 1 0 ]

[1−110]" role="presentation" style="position: relative;">[11−10]$$\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

[11​−10​]，当我们求一个向量经过复合变换后的坐标时，可以通过下图右边公式那样直接使用复合变换矩阵，而不需要像下图左边那样对向量连续施加两次单独的变换。

更一般地，对于矩阵乘法，我们就有了新的认识：他的几何意义是先施加一个变换，再施加另一个变换，施加顺序从右到左，顺序不同得到的结果也不同。

推广到更一般地数学含义：$g(f(x))$

根据前面章节学习到的知识，要想求线性变换对向量的作用，首先要得到变换后的基向量的坐标，让我们来看一个例子，假设连续施加两个线性变换$M_1$和$M_2$。

要想跟踪$\vec{i}$的去向，先看$M_1$的第一列，这是经过$M_1$变换后$\vec{i}$首先到达的地方： [ e g ]

[eg​]，然后新的$\vec{i}$要经过$M_2$的变换后到达最终目的地：

该结果作为复合矩阵的第一列，$\vec{j}$经过同样的变换过程到达最终目的地，结果为复合变换矩阵第二列，复合变换的最终结果为：

看，这不就是课堂上老师教的矩阵乘法计算规则嘛，只不过我们是从几何的角度推出来的。

大家可以从几何的角度来自行分析一下矩阵乘法的法则：

交换律：$M_1{M}_2\ne M_2{M}_1$

结合率：(AB)C=A(BC)

三维空间中的线性变换

前面一直在讨论二维情况，也就是将二维向量映射成二维向量，其实，只要掌握了二维线性变换的核心本质，就能轻松的扩展到更高维的空间中。

三维空间变换以三维向量为输入，以三维向量为输出，和二维向量一样，一个线性变换是在操纵三维空间中所有的点，变换后保持空间中网格线等距且原点不变。

与二维一样，三维线性变换也是由基向量的去向完全决定，只不过基向量由$\vec{i}$，$\vec{j}$变成了$\vec{i}$，$\vec{j}$,$\vec{k}$,例如，我们得到变换后三个基向量的坐标，那么由三个新的基向量组成矩阵就是三维线性变换矩阵 [ 1 1 1 0 1 0 − 1 0 1 ]

​10−1​110​101​ ​。

要想计算一个向量经过上面的三维变换后的新坐标，同样可以参照二维空间的计算方式，结果向量是基向量的线性组合。

同理两个三维矩阵的相乘也可以合并成一个复合变换矩阵，三维变换在计算机图形学中有着广泛的应用。

三维矩阵的乘法同样遵循二维矩阵乘法的思路。

行列式

前面我们从几何的角度对线性变换有了很直观的认识，其中有的线性变换对空间向外拉伸，有的则是将空间向内挤压。

向内挤压

向外拉伸

有一种方法对于理解这些线性变换很有用，那就是准确测量向内挤压了多少，向外拉伸了多少，更具体地讲就是计算出一个区域增大或减少的比例。

让我们来看一个例子，假设一个线性变换矩阵 [ 3 0 0 2 ]

[30​02​]，变换前基向量形成的四边形面积为1。

变换后，如下图，基向量形成一个2*3的矩形，面积为6

所以我们说这个变换将基向量形成的方格拉伸了6倍，根据线性变换的性质，如下图，所有可形成的区域都被拉伸了同样的大小。

现在，我们要抛出一个重磅信息：这个面积的变化的比例值就是该线性变换矩阵的行列式，这就是行列式的几何意义。

如果行列式值大于1，则代表该线性变换矩阵将一个区域进行拉伸，大于0且小于1的数代表缩小，负数代表反方向缩放。

注意，如果一个线性变换矩阵的行列式为0，则代表该变换将一个区域压缩成了一条线或者是一个点，从几何意义上讲，也就是说该变换将空间压缩到了更小的维度上，这在我们后面判断线性方程组是否有解提供了重要依据。

同理，三维线性变换的行列式代表的则是体积的变换比例，如下图，一个以初始基向量形成的111的立方体经过线性变换后该体积变成了如下图的大小。

三维变换矩阵的行列式为0，代表空间被压缩成了一个面，或者一个点，如果行列式是负数，说明空间定向已经发生改变，不能用右手定则描述基向量之间的关系。

前面说了行列式的几何意义，那如何求一个矩阵的行列式呢？

上图是一个行列式的计算公式，那它的几何意义是什么呢？如下图，假设给定一个特殊矩阵 [ a 0 0 d ]

[a0​0d​]，$\vec{i}$被缩放了a倍，$\vec{j}$被缩放了d倍，变换前后面积缩放了ad倍，这正符合行列式计算公式的结果。

前面我们给出了一个特殊的例子，但推广到更一般的矩阵，也是满足上面公式的。