第三章栈和队列【24王道数据结构笔记】

1.栈

1.1 栈的基本概念

只允许在一端(栈顶top)进行插入或删除操作的受限的线性表。
后进先出（Last In First Out）LIFO。或者说先进后出FILO。

进栈顺序：a1 > a2 > a3 > a4 > a5
出栈顺序：a5 > a4 > a3 > a2 > a1

1.2 栈的基本操作

InitStack(&S)：初始化栈。构造一个空栈 S，分配内存空间。
DestroyStack(&S)：销毁栈。销毁并释放栈 S 所占用的内存空间。
Push(&S, x)：进栈。若栈 S 未满，则将 x 加入使其成为新的栈顶元素。
Pop(&S, &x)：出栈。若栈 S 非空，则弹出（删除）栈顶元素，并用 x 返回。
GetTop(S, &x)：读取栈顶元素。若栈 S 非空，则用 x 返回栈顶元素。
StackEmpty(S)：判空。断一个栈 S 是否为空，若 S 为空，则返回 true，否则返回 false。

1.2.1 栈的顺序存储实现

【顺序栈的定义】


#define MaxSize 10              //定义栈中元素的最大个数
 
typedef struct{
    ElemType data[MaxSize];     //静态数组存放栈中元素
    int top;                    //栈顶元素
}SqStack;
 
void testStack(){
    SqStack S;                 //声明一个顺序栈(分配空间)
                               //连续的存储空间大小为 MaxSize*sizeof(ElemType)
}

【顺序栈的初始化】


#define MaxSize 10
typedef struct{   
	ElemType data[MaxSize];    
    int top;
}SqStack;
 
// 初始化栈顶为-1，栈顶指针指向栈顶
void InitStack(SqStack &S){ 
    S.top = -1;                   //初始化栈顶指针
}
 
// 判断栈是否为空
bool StackEmpty(SqStack S){    
    if(S.top == -1)        
        return true;    
    else        
        return false;
}
 
// 初始化栈顶为0，栈顶指针指向栈顶的下一个空位
void InitStack(SqStack &S){ 
    S.top = 0;                   //初始化栈顶指针
}
 
// 判断栈是否为空
bool StackEmpty(SqStack S){    
    if(S.top == 0)        
        return true;    
    else        
        return false;
}

【顺序栈的入栈出栈】


初始化为-1时
// 新元素进栈
bool Push(SqStack &S, ElemType x){    
    if(S.top == MaxSize - 1)   // 判断栈是否已满         
        return false;    
    S.data[++S.top] = x;    
    return true;
}
 
// 出栈
bool Pop(SqStack &x, ElemType &x){     
    if(S.top == -1)  // 判断栈是否为空         
        return false;    
    x = S.data[S.top--];    
    return true;
}
 
初始化为0时
// 新元素进栈
bool Push(SqStack &S, ElemType x){    
    if(S.top == MaxSize)   // 判断栈是否已满         
        return false;    
    S.data[S.top++] = x;    
    return true;
}
 
// 出栈
bool Pop(SqStack &x, ElemType &x){     
    if(S.top == 0)  // 判断栈是否为空         
        return false;    
    x = S.data[--S.top];    
    return true;
}

【读取栈顶元素】


// 读栈顶元素
初始化为-1时
bool GetTop(SqStack S, ElemType &x){        
    if(S.top == -1) 先判空，非空读取才有意义               
        return false;        
    x = S.data[S.top];        
    return true; 
}
 
初始化为-1时
bool GetTop(SqStack S, ElemType &x){        
    if(S.top == 0)                
        return false;        
    x = S.data[S.top-1];        
    return true; 
}

【读取栈的长度】


// 获取当前栈长
当初始化为-1
int GetSize(SqStack S){        
    return S.top + 1; 
}
 
当初始化为0
int GetSize(SqStack S){        
    return S.top; 
}

共享栈(两个栈共享同一片空间)】

共享栈--特殊的顺序栈
将栈底设计在共享空间的两端，栈顶向中间靠拢


#define MaxSize 10         //定义栈中元素的最大个数
 
typedef struct{
    ElemType data[MaxSize];       //静态数组存放栈中元素
    int top0;                     //0号栈栈顶指针
    int top1;                     //1号栈栈顶指针
}ShStack;
 
//初始化栈
void InitSqStack(ShStack &S){
    S.top0 = -1;        //初始化栈顶指针
    S.top1 = MaxSize;   
}

1.2.2 栈的链式存储

【链栈的定义】

定义：采用链式存储的栈称为链栈。
优点：链栈的优点是便于多个栈共享存储空间和提高其效率，且不存在栈满上溢的情况。
特点：进栈和出栈都只能在栈顶一端进行(链头作为栈顶)

链表的头部作为栈顶，意味着：

1. 在实现数据"入栈"操作时，需要将数据从链表的头部插入；
2. 在实现数据"出栈"操作时，需要删除链表头部的首元节点；

因此，链栈实际上就是一个只能采用头插法插入或删除数据的链表;
栈的链式存储结构可描述为：

【链栈的定义】


typedef struct Linknode{        
    ElemType data;        //数据域    
    Linknode *next;       //指针域
}Linknode,*LiStack;
 
void testStack(){   
    LiStack L;            //声明一个链栈
}

【链栈的初始化】


typedef struct Linknode{       
    ElemType data;      
    Linknode *next;
}Linknode,*LiStack;
 
// 初始化栈
bool InitStack(LiStack &L){    // 生成虚拟头节点，并将其next指针置空
    L = (Linknode *)malloc(sizeof(Linknode));   
    if(L == NULL)             
        return false;   
    L->next = NULL;    
    return true;
}
 
// 判断栈是否为空
bool isEmpty(LiStack &L){    
    if(L->next == NULL)      
        return true;   
    else           
        return false;
}

【入栈出栈】


// 新元素入栈
bool pushStack(LiStack &L,ElemType x){  
    Linknode *s = (Linknode *)malloc(sizeof(Linknode));  
    if(s == NULL)         
        return false;   
    s->data = x;     
    // 头插法      
    s->next = L->next;  
    L->next = s;     
    return true;
}
 
// 出栈
bool popStack(LiStack &L, int &x){     
    // 栈空不能出栈  
    if(L->next == NULL)     
        return false;    
    Linknode *s = L->next;  
    x = s->data;       
    L->next = s->next;
    free(s);
    s = NULL;       
    return true;
}

2. 队列

2.1 队列的基本概念

只允许在表的一端(队尾)插入，表的另一端(队头)进行删除操作的受限的线性表。
特点：先进先出（先入队的元素先出队）、FIFO（First In First Out）,后入后出LILO。

2.2 队列的基本操作

InitQueue(&Q)：初始化队列，构造一个空队列Q。
QueueEmpty(Q)：判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。
EnQueue(&Qx)：入队，若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾。
DeQueue(&Q&x)：出队，若队列Q非空，则删除队头元素，并用x返回。
GetHead(Q&x)：读队头元素，若队列Q非空则用x返回队头元素。
ClearQueue(&Q)：销毁队列，并释放队列Q占用的内存空间。
【队列的顺序存储实现】

队头指针：指向队头元素
队尾指针：指向队尾元素或者队尾的下一个位置

【顺序队列的定义】


#define MaxSize 10;     //定义队列中元素的最大个数
 
typedef struct{     
    ElemType data[MaxSize];   //用静态数组存放队列元素     
    int front, rear;          //队头指针和队尾指针
}SqQueue;
 
void test{     
    SqQueue Q;                //声明一个队列
}

【顺序队列的初始化】


#define MaxSize 10;
 
typedef struct{   
    ElemType data[MaxSize];  
    int front, rear;
}SqQueue;
 
// 初始化队列
void InitQueue(SqQueue &Q){    
    // 初始化时，队头、队尾指针指向0   
    // 队尾指针指向的是即将插入数据的数组下标  
    // 队头指针指向的是队头元素的数组下标
    Q.rear = Q.front = 0;
}
 
// 判断队列是否为空
bool QueueEmpty(SqQueue Q){     
    if(Q.rear == Q.front)            
        return true;   
    else          
        return false;
}

【入队出队（循环队列）】


// 新元素入队
bool EnQueue(SqQueue &Q, ElemType x){       
    // 如果队列已满直接返回
    if((Q.rear+1)%MaxSize == Q.front) 	//牺牲一个单元区分队空和队满   
        return false;    
    Q.data[Q.rear] = x;   
    Q.rear = (Q.rear+1)%MaxSize; 
    return true;
}
 
// 出队
bool DeQueue(SqQueue &Q, ElemType &x){    
    // 如果队列为空直接返回    
    if(Q.rear == Q.front)  
        return false;     
    x = Q.data[Q.front];  
    Q.front = (Q.front+1)%MaxSize;
    return true;
}

循环队列不能直接使用Q.rear == Q.front作为判空的条件，因为当队列已满时也符合该条件，会与判空发生冲突！

解决方法一：牺牲一个单元来区分队空和队满，即将(Q.rear+1)%MaxSize == Q.front作为判断队列是否已满的条件。（主流方法）
解决方法二：设置 size 变量记录队列长度。


#define MaxSize 10; 
 
typedef struct{   
    ElemType data[MaxSize]; 
    int front, rear;    
    int size;
}SqQueue;
 
// 初始化队列
void InitQueue(SqQueue &Q){ 
    Q.rear = Q.front = 0;   
    Q.size = 0;
}
 
// 判断队列是否为空
bool QueueEmpty(SqQueue 0){     
    if(Q.size == 0)      
        return true;   
    else       
        return false;
}
 
// 新元素入队
bool EnQueue(SqQueue &Q, ElemType x){ 
    if(Q.size == MaxSize)    
        return false;
    Q.size++; 
    Q.data[Q.rear] = x; 
    Q.rear = (Q.rear+1)%MaxSize;  
    return true;
}
 
// 出队
bool DeQueue(SqQueue &Q, ElemType &x){   
    if(Q.size == 0)        
        return false;
    Q.size--;
    x = Q.data[Q.front]; 
    Q.front = (Q.front+1)%MaxSize; 
    return true;
}

解决方法三：设置 tag 变量记录队列最近的操作。（tag=0：最近进行的是删除操作；tag=1 ：最近进行的是插入操作）


#define MaxSize 10;   
 
typedef struct{    
    ElemType data[MaxSize]; 
    int front, rear;        
    int tag;
}SqQueue;
 
// 初始化队列
void InitQueue(SqQueue &Q){    
    Q.rear = Q.front = 0;   
    Q.tag = 0;
}
 
// 判断队列是否为空，只有tag==0即初始化或者出队后才可能为空
bool QueueEmpty(SqQueue 0){  
    if(Q.front == Q.rear && Q.tag == 0)    
        return true;   
    else       
        return false;
}
 
// 新元素入队 判断队列是否满，只有tag==1即入队后才可能满
bool EnQueue(SqQueue &Q, ElemType x){
    if(Q.rear == Q.front && tag == 1)     
        return false;     
    Q.data[Q.rear] = x; 
    Q.rear = (Q.rear+1)%MaxSize;  
    Q.tag = 1;  
    return true;
}
 
// 出队
bool DeQueue(SqQueue &Q, ElemType &x){
    if(Q.rear == Q.front && tag == 0)  
        return false;   
    x = Q.data[Q.front];
    Q.front = (Q.front+1)%MaxSize; 
    Q.tag = 0;     
    return true;
}

【获得队头元素】


// 获取队头元素并存入x
bool GetHead(SqQueue &Q, ElemType &x){
    if(Q.rear == Q.front)      
        return false;
    x = Q.data[Q.front];  
    return true;
}

队列的链式存储实现

【链队列的定义】


// 链式队列结点
typedef struct LinkNode{  
    ElemType data;    
    struct LinkNode *next;
}
 
// 链式队列
typedef struct{       
    // 头指针和尾指针  
    LinkNode *front, *rear;
}LinkQueue;

【 链队列的初始化（带头结点）】


typedef struct LinkNode{    
    ElemType data;     
    struct LinkNode *next;
}LinkNode;
 
typedef struct{    
    LinkNode *front, *rear;
}LinkQueue;
 
// 初始化队列
void InitQueue(LinkQueue &Q){   
    // 初始化时，front、rear都指向头结点 
    Q.front = Q.rear = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));  
    Q.front -> next = NULL;
}
 
// 判断队列是否为空
bool IsEmpty(LinkQueue Q){ 
    if(Q.front == Q.rear)     
        return true;      
    else         
        return false;
}

【入队出队（带头结点）】


// 新元素入队
void EnQueue(LinkQueue &Q, ElemType x){ // 不存在满的情况
    LinkNode *s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode)); 
    s->data = x;  
    s->next = NULL; 
    Q.rear->next = s;  
    Q.rear = s;
}
 
// 队头元素出队
bool DeQueue(LinkQueue &Q, ElemType &x){   
    if(Q.front == Q.rear)  // 判空       
        return false;    
    LinkNode *p = Q.front->next; 
    x = p->data;   
    Q.front->next = p->next; 
    // 如果p是最后一个结点，此时Q.rear已经要被删除了，则将队尾指针也指向队首指针  
    if(Q.rear == p)          
        Q.rear = Q.front;   
    free(p);
    p = NULL;    
    return true;
}

【不带头结点的链队列操作】


typedef struct LinkNode{   
    ElemType data;  
    struct LinkNode *next;
}LinkNode;
 
typedef struct{   
    LinkNode *front, *rear;
}LinkQueue;
 
// 初始化队列
void InitQueue(LinkQueue &Q){ 
    // 不带头结点的链队列初始化，头指针和尾指针都指向NULL
    Q.front = NULL;   
    Q.rear = NULL;
}
 
// 判断队列是否为空
bool IsEmpty(LinkQueue Q){ 
    if(Q.front == NULL)   
        return true;      
    else             
        return false;
}
 
// 新元素入队
void EnQueue(LinkQueue &Q, ElemType x){ 
    LinkNode *s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));  
    s->data = x;   
    s->next = NULL; 
    // 第一个元素入队时需要特别处理   
    if(Q.front == NULL){
        Q.front = s;    
        Q.rear = s; 
    }else{
        Q.rear->next = s;
        Q.rear = s;
    }
}
 
//队头元素出队
bool DeQueue(LinkQueue &Q, ElemType &x){
    if(Q.front == NULL)
        return false;
    LinkNode *s = Q.front;
    x = s->data;
    if(Q.front == Q.rear){
        Q.front = Q.rear = NULL;
    }else{
        Q.front = Q.front->next;
    }
    free(s);
    return true;
}

双端队列

双端队列定义

双端队列是允许从两端插入、两端删除的线性表。
如果只使用其中一端的插入、删除操作，则等同于栈。
输入受限的双端队列：允许一端插入，两端删除的线性表。
输出受限的双端队列：允许两端插入，一端删除的线性表。

双端队列考点：判断输出序列的合法化

例：数据元素输入序列为 1，2，3，4，判断 4! = 24 个输出序列的合法性
输入受限的双端队列：只有 4213 和 4231 不合法
输出受限的双端队列：只有 4132 和 4231 不合法

3. 栈与队列的应用

3.1栈在括号匹配中的应用

用栈实现括号匹配：
1. 最后出现的左括号最先被匹配（栈的特性——LIFO）。
2. 遇到左括号就入栈（可以把对应右括号入栈，这样遇到右括号只需要判断是否和栈顶相等。
3. 遇到右括号，就“消耗”一个左括号（出栈）。

匹配失败情况：
1. 扫描到右括号且栈空，则该右括号单身。
2. 扫描完所有括号后，栈非空，则该左括号单身。
3. 左右括号不匹配。


#define MaxSize 10 
typedef struct{    
    char data[MaxSize];   
    int top;
}SqStack;
 
void InitStack(SqStack &S);
bool StackEmpty(SqStack &S);
bool Push(SqStack &S, char x);
bool Pop(SqStack &S, char &x);
 
// 判断长度为length的字符串str中的括号是否匹配
bool bracketCheck(char str[], int length){ 
    SqStack S;      
    InitStack(S); 
    // 遍历str    
    for(int i=0; i
        // 扫描到左括号，入栈     
        if(str[i] == '(' || str[i] == '[' || str[i] == '{'){    
            Push(S, str[i]);        
        }else{              
            // 扫描到右括号且栈空直接返回   
            if(StackEmpty(S))      
                return false;       
            char topElem;          
            // 用topElem接收栈顶元素   
            Pop(S, topElem);          
            // 括号不匹配           
            if(str[i] == ')' && topElem != '(' ) 
                return false;           
            if(str[i] == ']' && topElem != '[' )  
                return false;   
            if(str[i] == '}' && topElem != '{' )   
                return false;              }   
    }  
    // 扫描完毕若栈空则说明字符串str中括号匹配    
    return StackEmpty(S);
}

3.2栈在表达式求值中的应用

中缀表达式：中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，运算符以中缀形式处于操作数的中间。对于计算机来说中缀表达式是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。
前缀表达式（波兰表达式）：前缀表达式的运算符位于两个操作数之前。
后缀表达式（逆波兰表达式）：后缀表达式的运算符位于两个操作数之后。

中缀表达式转后缀表达式-手算
步骤1：确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序
步骤2：选择下一个运算符，按照[左操作数右操作数运算符]的方式组合成一个新的操作数
步骤3：如果还有运算符没被处理，继续步骤2

“左优先”原则: 只要左边的运算符能先计算，就优先算左边的 (保证运算顺序唯一)；


中缀：A + B - C * D / E + F
       ①   ④   ②   ③   ⑤     
后缀：A B + C D * E / - F +

后缀表达式转中缀的计算—手算:
从左往右扫描，每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应的运算，合体为一个操作数

后缀表达式的计算—机算
用栈实现后缀表达式的计算（栈用来存放当前暂时不能确定运算次序的操作数）
步骤1: 从左往后扫描下一个元素，直到处理完所有元素;
步骤2: 若扫描到操作数，则压入栈，并回到步骤1;否则执行步骤3;
步骤3: 若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应的运算，运算结果压回栈顶，回到步骤1;

中缀表达式转后缀表达式(机算)
初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况:
1.遇到操作数：直接加入后缀表达式。
2.遇到界限符：遇到“(”直接入栈；遇到“)”则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出“(”为止。注意：“(”不加入后缀表达式。
3.遇到运算符：依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，若碰到“(” 或栈空则停止。之后再把当前运算符入栈。


#define MaxSize 40 
typedef struct{     
    char data[MaxSize];   
    int top;
}SqStack;
 
typedef struct{  
    char data[MaxSize];  
    int front,rear;
}SqQueue;
 
void InitStack(SqStack &S);
bool StackEmpty(SqStack S);
bool Push(SqStack &S, char x);
bool Pop(SqStack &S, char &x);
void InitQueue(SqQueue &Q);
bool EnQueue(LQueue &Q, char x);
bool DeQueue(LQueue &Q, char &x);
bool QueueEmpty(SqQueue Q);
 
// 判断元素ch是否入栈
int JudgeEnStack(SqStack &S, char ch){
    char tp = S.data[S->top];   
    // 如果ch是a~z则返回-1    
    if(ch >= 'a' && ch <= 'z')   
        return -1;    
    // 如果ch是+、-、*、/且栈顶元素优先级大于等于ch则返回0  
    else if(ch == '+' && (tp == '+' || tp == '-' || tp == '*' || tp == '/'))   
        return 0;     
    else if(ch == '-' && (tp == '+' || tp == '-' || tp == '*' || tp == '/'))   
        return 0;  
    else if(ch == '*' && (tp == '*' || tp == '/'))  
        return 0;    
    else if(ch == '/' && (tp == '*' || tp == '/'))     
        return 0;    
    // 如果ch是右括号则返回2   
    else if(ch == ')')      
        return 2;     
    // 其他情况ch入栈，返回1   
    else return 1;
}
 
// 中缀表达式转后缀表达式
int main(int argc, char const *argv[]) {  
    SqStack S;     
    SqQueue Q;	 
    InitStack(S); 
    InitQueue(Q);  
    char ch;	  
    printf("请输入表达式，以“#”结束：");  
    scanf("%c", &ch);   
    while (ch != '#'){  
        // 当栈为空时     
        if(StackEmpty(&S)){ 
            // 如果输入的是数即a~z，直接入队 
            if(ch >= 'a' && ch <= 'z')               
                EnQueue(Q, ch);      	
            // 如果输入的是运算符，直接入栈    
            else                      
                Puch(S, ch);       
        }else{                
            // 当栈非空时，判断ch是否需要入栈 
            int n = JudgeEnStack(S, ch);     
            // 当输入是数字时直接入队      	
            if(n == -1){        	    
                EnQueue(Q, ch);        
            }else if(n == 0){       
                // 当输入是运算符且运算符优先级不高于栈顶元素时    
                while (1){         
                    // 取栈顶元素入队    
                    char tp;        
                    Pop(S, tp);      
                    EnQueue(Q, tp);         
                    // 再次判断是否需要入栈     
                    n = JudgeEnStack(S, ch);
                    // 当栈头优先级低于输入运算符或者栈头为‘)’时，入栈并跳出循环  
                    if(n != 0){           
                        EnStack(S, ch);           
                        break;              
                    }                   
                }            
            }else if(n == 2){  
                // 当出现‘)’时 将()中间的运算符全部出栈入队   
                while(1){                
                    char tp;                
                    Pop(S, tp);             
                    if(tp == '(')          
                        break;        
                    else            
                        EnQueue(Q, tp);    
                }             
            }else{        
                // 当运算符优先级高于栈顶元素或出现‘(’时直接入栈     
                Push(S, ch);         
            }          
        }         
        scanf("%c", &ch);   
    }     
    // 将最后栈中剩余的运算符出栈入队 
    while (!StackEmpty(S)){	  
        char tp;            
        Pop(S, tp);      
        EnQueue(Q, tp);  
    }      
    // 输出队中元素 
    while (!QueueEmpety(Q)){    
        printf("%c ", DeQueue(Q));  
    }    
    return 0;
}

用栈实现中缀表达式的计算:
1.初始化两个栈，操作数栈和运算符栈；
2.若扫描到操作数，压入操作数栈；
3.若扫描到运算符或界限符，则按照“中缀转后缀”相同的逻辑压入运算符栈(期间也会弹出运算符，每当弹出一个运算符时，就需要再弹出两个操作数栈的栈顶元素并执行相应运算，运算结果再压回操作数栈)

3.3栈在递归中的应用

函数调用的特点：最后被调用的函数最先执行结束(LIFO)

函数调用时，需要用一个栈存储：

调用返回地址
实参
局部变量

递归调用时，函数调用栈称为 “递归工作栈”:

每进入一层递归，就将递归调用所需信息压入栈顶；
每退出一层递归，就从栈顶弹出相应信息；
缺点：太多层递归可能回导致栈溢出；适合用“递归”算法解决：可以把原始问题转换为属性相同，但规模较小的问题

3.4队列的应用

队列应用：树的层次遍历
队列应用：图的广度优先遍历
队列应用：操作系统中多个进程争抢着使用有限的系统资源时，先来先服务算法（First Come First Service）是是一种常用策略。

3.5 特殊矩阵的压缩存储

3.5.1 数组的存储

一维数组的存储：各数组元素大小相同，且物理上连续存放。设起始地址为LOC，则数组元素 a[i] 的存放地址 = LOC + i * sizeof(ElemType) (0≤i<10)

二维数组的存储：
1. M行N列的二维数组b[M][N]中，设起始地址为LOC，若按行优先存储，则b[i][j]的存储地址 =LOC+(i∗N+j)∗sizeof(ElemType)

2. M行N列的二维数组b[M][N]中，设起始地址为 LOC，若按列优先存储，则b[i][j]
的存储地址 = LOC+(i+j*M)∗sizeof(ElemType)

3.5.2对称矩阵的压缩存储

对称矩阵的压缩存储：若n阶方阵中任意一个元素 $a_{i,j}$ ,都有 $a_{i,j}=a_{j,i}$ 则该矩阵为对称矩阵，对于对称矩阵，只需存储主对角线+下三角区。若按照行优先原则将各元素存入一维数组中，即 $a_{i,j}$ 存入到数组 B[k] 中，那么数组 B[k] 共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个元素。对于k，有：

$k = \left\{\begin{matrix} \frac{i(i-1)}{2} + j - 1 &i >= j \\ \frac{j(j-1)}{2} + i - 1 &i < j \end{matrix}\right.$

3.5.3三角矩阵的压缩存储

下三角矩阵：除了主对角线和下三角区，其余的元素都相同。
上三角矩阵：除了主对角线和上三角区，其余的元素都相同。
压缩存储策略：按行优先原则将主对角线+下三角区存入一维数组中，并在最后一个位置存储常量。即 $a_{i,j}$ 存入到数组中，那么数组共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ + 1个元素。对于k，有：

$k = \left\{\begin{matrix} \frac{i(i-1)}{2} + j - 1 &i >= j \\ \frac{n(n+1)}{2} &i < j \end{matrix}\right.$

按行优先原则将主对角线+上三角区存入一维数组中，并在最后一个位置存储常量。即 $a_{i,j}$ 存入到数组 B[k] 中，那么数组 B[k] 共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ + 1个元素。对于k，有：

$k = \left\{\begin{matrix} \frac{(i-1)(2n-i+2)}{2} + j - i &i <= j \\ \frac{n(n+1)}{2} &i > j \end{matrix}\right.$

推导：k= n+ (n-1) + ...+ (n - i + 2) + (j -i+1)-1= $\frac{(i-1)(2n-i+2)}{2} + j - i$

3.5.4三对角矩阵的压缩存储

三对角矩阵，又称带状矩阵: 当 |i-j|>1 时，有 $a_{i,j} =0(1\leqslant i,j\leqslant n)$ 。对于三对角矩阵，按行优先原则，只存储带状部分，即 $a_{i,j}$ 存入到数组 B[k] 中，那么 k =3i+j- 3 。若已知数组下标k，则 $i=\left \lfloor (k+1)/3+1) \right \rfloor$ , j=k-2i+3 。

k值推导：前i-1行有2 + (i- 2）* 3个元素，第i行j-i + 2个元素，共有2*i+j- 2个元素，数组中下标为2*i+j- 3。

稀疏矩阵的压缩存储

稀疏矩阵的非零元素远远少于矩阵元素的个数。压缩存储策略：

顺序存储：三元组 <行，列，值>为了运算方便，矩阵的行数，列数，非零元素的个数也同时存储。

链式存储：十字链表法

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原文地址：https://blog.csdn.net/zhendong825/article/details/134432302

第三章 栈和队列【24王道数据结构笔记】

1.栈