线性代数本质系列（一）向量，线性组合，线性相关，矩阵

本系列文章将从下面不同角度解析线性代数的本质，本文是本系列第一篇

向量究竟是什么？
向量的线性组合，基与线性相关
矩阵与线性相关
矩阵乘法与线性变换
三维空间中的线性变换
行列式
逆矩阵，列空间，秩与零空间
克莱姆法则
非方阵
点积与对偶性
叉积
以线性变换眼光看叉积
基变换
特征向量与特征值
抽象向量空间
快速计算二阶矩阵特征值
张量，协变与逆变和秩

前言

天道中丁元英说过一句话：佛说，看山是山，看水是水，普通大众寄情山水之间时，如神一般的丁元英却早已看透文化属性；今天我们不研究这么高深的哲学，回到线性代数，向量，矩阵对于我来讲只不过是一堆数字，但切换到神的视角，他们却是几何与变换，瞬间让线性代数变得更加立体生动，今天我们就从几何的角度去探索线性代数的本质。

向量究竟是什么？

通过“究竟”一词可见，对于向量的含义，存在不同的解释，目前，主要有三种解释：

⑴从物理学家的角度看：向量是指向空间的箭头，它有两个属性：长度和方向，无论怎么移动他都是同一个向量。

⑵从计算机角度看：向量是有序的数字列表，例如对于房价预测而言，房子的面积，房间数就可以看作是一个向量： [ 80 4 ]

[804​]

⑶从数学家的角度看：向量可以是任何东西，只要具有向量和向量加法，标量和向量乘法这两种运算规律的事务都可以看作是向量

$$\vec{v}+\vec{w}$$

$$2\vec{v}$$

例如：
[ − 4 10 ] + [ 20 1 ] = [ 16 11 ]

[−410​]+[201​]=[1611​]​

2 ∗ [ 80 4 ] = [ 160 8 ]

2∗[804​]=[1608​]​

由于数学家的角度过于抽象，这就出现了开头讲的，换个角度看问题，从几何角度看待线性代数，对于向量而言，就是在特定坐标系下，以原点为起点，指向某个方向的箭头：

现在已经有了使用几何方式表达向量的方法，下面让我们从几何角度重新审视向量的两种运算：

对于$\vec{v}+\vec{w}$而言，移动w到v的末尾，连接v的头和w的尾就是结果向量。

对于$2\vec{v}$而言，向量的方向不变，长度变为原来的两倍，如果标量是小数，则是缩小向量的长度，如果是负数，则是反方向缩放向量的长度。

向量的线性组合，基于线性相关

基向量：

“单位“是数学中必不可少的概念，缺少单位，数字变得毫无意义，同样，对于使用几何表示向量而言，也有存在单位的概念，这就是“基向量”，它代表指向x，y轴，长度为1的向量，我们分别用$\vec{i}$，$\vec{j}$表示。

有了基的概念后，向量的表示可以转换成以基为参照，例如向量 [ 3 − 2 ]

[3−2​]，则可以表示成：$3\ast \vec{i}+2\ast \vec{j}$

这里需要注意，前面我们选择指向x，y轴，且长度为1的向量作为基向量，但也可以选择不同的基，不同的基代表不同的坐标系，则对于一个向量而言，它代表不同的几何意义，例如，选择下面的v和w向量作为基向量时，向量 [ 1.5 − 0.62 ]

[1.5−0.62​]代表的几何形状与$\vec{i}$，$\vec{j}$为基向量时的形状是不一样的。

向量线性组合：

无论选择什么样的基向量，向量都可以写成更一般的形式：$a\vec{v}+b\vec{w}$我们称为向量的线性组合，a，b是标量，也称为缩放因子，v和w是向量，选择不同的缩放因子，向量的线性组合可以表示整个向量空间，也就是生成的向量可以到达平面中所有点。

但如果两个向量恰好共线时，则向量组合后的结果向量只能落在该直线上，我们称共线的两个向量是线性相关的，否则是线性无关。

更特殊地，当这两个向量都是0向量时，则向量组合后的结果向量只能落在原点上。

概括一下，所有可以被给定向量，用线性组合来表示的那些向量的集合，被称为给定向量张成的空间，两个不共线的向量，在二维空间中，其线性组合所张成的空间是整个二维空间；而在三维空间中，其张成的空间是三维空间中的一个面。

在三维空间中，三个向量的线性组合，如果其中一个向量在另两个向量张成的平面内，我们称该向量与其他两个向量线性相关，这三个向量的线性组合仍然是一个平面，只有三个向量互不线性相关时，那么这三个向量的线性组合才能张成整个三维空间。

矩阵与线性相关

矩阵：

先说结论：前面讲的向量可以视为一种带箭头的几何结构，那么矩阵就可以视为一种对几何的变换。

在线性代数中，变换是一种函数，将输入映射成输出，输入是向量，输出也是向量，同理，当输入是矩阵时，可以把矩阵分解成多个向量，那么输出也就是矩阵，变换有很多种，线性代数中只讨论线性变换，线性变换要求，任意直线变换后仍然是直线，且原点位置变换后保持不变，从几何角度看，线性变换就是拉伸，缩放，旋转。

下图变换后，直线变弯曲了，所以是非线性变换

下图变换后，原点位置变了，所以属于非线性变换

那我们如何求一个向量经过变换后的向量坐标呢？假设现有一个向量，在原始坐标系下可以表示成：$\vec{v}=(-1)\vec{i}+2\ast \vec{j}$ 。

现在对向量v施加一个线性变换，根据线性变换的特性，变换后，网格仍然平行且间隔均等，假设两个基向量变换后的坐标如下图所示，向量v与两个基向量经过相同的变换变成新的基向量，那么，向量v经过变换后的向量仍然可以表示成:
v ⃗ t r a n s f o r m e d = ( − 1 ) i ⃗ t r a n s f o r m e d + 2 ∗ j t r a n s f o r m e d

v transformed​=(−1)i transformed​+2∗jtransformed​​
只不过基向量变成了变换后的基向量。

如上图
i ⃗ t r a n s f o r m e d = [ 1 − 2 ] \vec{i}{}_{transformed} =

i transformed​=[1−2​], j ⃗ t r a n s f o r m e d = [ 3 0 ] \vec{j}{}_{transformed} =

[30]" role="presentation" style="position: relative;">[30]$$\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$$

j ​transformed​=[30​]

变换后的v就等于： v ⃗ = ( − 1 ) [ 1 − 2 ] + 2 ∗ [ 3 0 ] = [ 5 2 ] \vec{v} =( -1)

+2* = v =(−1)[1−2​]+2∗[30​]=[52​]

也就是说，如果我们知道两个基向量变换后的向量，那么求任何一个向量经过变换后的向量的过程可以用下图所表示：

更进一步的，我们将两个基向量变换后的坐标向量用矩阵的形式组织起来，这个矩阵就是线性变换矩阵T。

对于任意一个向量A,例如， [ 7 2 ]

[72​]，求该线性变换T对该向量的作用时，只需要用矩阵与向量相乘即可： A t r a n s f o r m e d = [ 3 2 − 2 1 ] [ 7 2 ] = 7 [ 3 − 2 ] + 2 [ 2 1 ] A_{transformed} =

[32−21]" role="presentation" style="position: relative;">[3−221]$$\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& 1\end{array}\right]$$

[72]" role="presentation" style="position: relative;">[72]$$\left[\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right]$$

=7

[3−2]" role="presentation" style="position: relative;">[3−2]$$\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$$

+2

[21]" role="presentation" style="position: relative;">[21]$$\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$$

Atransformed​=[3−2​21​][72​]=7[3−2​]+2[21​]。

如果换个视角，反过来看，如果给出一个矩阵乘法： [ 3 2 − 2 1 ] [ 7 2 ]

[3−2​21​][72​]，我们可以把矩阵第一列 [ 3 − 2 ]

[3−2]" role="presentation" style="position: relative;">[3−2]$$\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$$

[3−2​]当作新的基向量$\vec{i}$，把矩阵的第二列 [ 2 1 ]

[21]" role="presentation" style="position: relative;">[21]$$\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$$

[21​]当作新的基向量$\vec{j}$，根据向量的几何表示，向量 [ 7 2 ]

[72]" role="presentation" style="position: relative;">[72]$$\left[\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right]$$

[72​]用新的基向量表成：$\vec{i}$向正方向放大7倍，$\vec{j}$向正方向放大2倍，将变换后的向量相加就形成了结果向量。

再举个例子，看看逆时针旋转90度的变换矩阵是什么，$\vec{i}$由 [ 1 0 ]

[10​]变成 [ 0 1 ]

[01]" role="presentation" style="position: relative;">[01]$$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

[01​]，$\vec{j}$由 [ 0 1 ]

[01]" role="presentation" style="position: relative;">[01]$$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

[01​]变成 [ − 1 0 ]

[−10]" role="presentation" style="position: relative;">[−10]$$\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]$$

[−10​]，所以该变换矩阵为： [ 0 − 1 1 0 ]

[0−110]" role="presentation" style="position: relative;">[01−10]$$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$$

[01​−10​]。

到此，就已经证明了我们在开头所说的：矩阵是一种线性变换。