【三维重建】摄像机几何

【三维重建】摄像机几何

针孔相机模型

为了方便我们对针孔相机模型进行数学建模，我们往往对虚拟像平面进行研究，因为虚拟像平面的方向与我们实际物体的方向一致。

通过相似三角形法可以得到三维坐标到二维坐标映射

$P=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} \rightarrow {P}'=\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x' = f\frac{{x}}{z} \\ y'=f\frac{{x}}{z} \\ \end{matrix}\right.$

将像平面原点坐标移动到左下角：

$\left ( x,y,z \right ) \rightarrow \left ( f\frac{x}{z} +c_x{},f\frac{y}{z} +c_y{}\right )$

加上现实世界单位（m）到数码图片单位（pixel）的转换量：

$\left ( x,y,z \right ) \rightarrow \left ( fk\frac{x}{z} +c_x{},fl\frac{y}{z} +c_y{}\right )$

至此，完成了相机坐标到像平面坐标的映射：

$P=(x,y,z)\rightarrow P'=(\alpha \frac{x}{z}+c_{x},\beta \frac{y}{z}+c_{y})$

齐次坐标

$P=(x,y,z)\rightarrow P'=(\alpha \frac{x}{z}+c_{x},\beta \frac{y}{z}+c_{y})$

在上面这个公式中，z是会改变的，因此 P到P'并不是线性变换，我们需要引用齐次坐标，使它成为线性变换。

欧式坐标变为齐次坐标就是在最后增加一个维度，并让它的值为1。

$\left ( x,y \right )\rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}$ $\left ( x,y,z \right )\rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y\\z\\ 1 \end{bmatrix}$

齐次坐标转为欧式坐标：

$\begin{bmatrix} x\\y\\w \end{bmatrix}\rightarrow (x/w,y/w)$ $\begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix}\rightarrow (x/w,y/w,z/w)$

齐次坐标转到欧式坐标的结果并不是一一对应的，比如（1，1，1）和（2，2，2）转到欧式坐标都是（1，1），它们之间相差一个系数。

M矩阵中的元素是固定不变的，变为齐次坐标后P到P'就是线性变换了。

投影矩阵

由于制造工艺的原因，像平面可能不是一个矩形，所以需要映入 $\theta$ 进行建模。

我M称为投影矩阵， K称为摄像机的内参矩阵。

我们目前所完成的是相机坐标系到像素坐标系的映射，还需要一个外参矩阵，建立世界坐标系到相机坐标系的映射。

参考鲁鹏老师三维重建课：

计算机视觉之三维重建（深入浅出SfM与SLAM核心算法）——1.摄像机几何_哔哩哔哩_bilibili
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原文地址：https://blog.csdn.net/holle_world_ldx/article/details/134329876

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齐次坐标

投影矩阵