宋浩高等数学笔记（三）微分中值定理

首先是考研大纲包含的内容：

1.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.

2.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.

3.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.

4.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间 内，设函数 具有二阶导数。当f"(x)＞0 时，f(x) 的图形是凹的;当f"(x)＜0时，f(x) 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

5.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

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目录

3.1微分的定义and基本公式与法则

3.2微分的几何意义

3.3微分中值定理

3.4洛必达法则

3.5泰勒公式

3.6函数的单调性与曲线的凹凸性

3.7极值及其求法

3.8函数图像

3.9曲率

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  关于泰勒公式，洛必达法则，柯西中值定理等重要概念的总结，有助于基础的理解。

• 微分的本质就是，x或y发生极小的变化
• 如果在一一点处，y的微分可以用x的微分*一个线性主部，并加上一个高阶无穷小，则称fx在该点处可微~
•  要明确的是，可微与可导互为充要条件
• 可微的充分性是：微分之比的极限值是所谓的线性主部——换句话说，导数在邻域内部都存在
• 可微的必要性是：函数在该点必连续
• 微商的定义是两个微分的商，但是对于微商来说分子和分母是可分离的，这一点和导数不同~
• 复合函数的微分，和复合求导法的方式一致
• 微分的几何意义，本质上就是变化量的近似值，利用这一点可以计算很多函数的近似值~

3.1微分的定义and基本公式与法则

3.2微分的几何意义

• 费马引理是在说，如果在某点处取到极值，则在该邻域内导数为0
• 罗尔定理是在说，如果闭区间连续、开区间可导，且端点处函数值相等，则区间内必有一点处导数为0~
• 拉格朗日中值定理在说，闭区间连续、开区间可导，则函数图线上总有一点处的导数，与围成人的三角形斜率相同~
• 而柯西中值定理，则是更一般化的情况，是将a/b两个区间端点也该为了函数，本质上就是参数方程化

3.3微分中值定理

• 洛必达法则指的是，当一个分式的分子和父母均趋于无穷或0时，则他们比值的极限相当于上下各求一次导的极限
• 泰勒公式指的是，原函数可以展成由导数复合而成的多项式，这在计算较为复杂函数的极限时效果拔群~ 

3.4洛必达法则

3.5泰勒公式

• 对于函数的单调性，我们可以初步认为一阶导大于0单调增，否则单调减，所谓驻点指的是一阶导数为0的点
• 对于函数的凸凹性，我们认为二阶导数大于0是凹函数，否则为凸函数，拐点是指二阶导为0的点
• 对于极值点和凹凸性变化的点，以及拐点和驻点的判别等，要熟悉区别
• 有关单调区间、驻点拐点等的判断比较简单，这里不再赘述~ 

3.6函数的单调性与曲线的凹凸性

3.7极值及其求法

3.8函数图像

3.9曲率

• 曲率的定义是，角度变化量和弧长变化量的极限值~