汉诺塔 --- 递归回溯算法练习一

目录

1. 什么叫汉诺塔

2. 分析算法原理

2.1. 当盘子的数量为1

 2.2. 当盘子的数量为2

2.3. 当盘子的数量为3时

3. 编写代码

3.1. 挖掘重复子问题

3.2. 只关心某一个子问题如何处理

3.3. 递归的结束条件

3.4. 代码的编写

4. 递归展开图分析

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1. 什么叫汉诺塔

力扣上的原题链接如下：

面试题 08.06. 汉诺塔问题 - 力扣（LeetCode）

什么叫汉诺塔呢？

汉诺塔是一种经典的数学智力游戏，它起源于印度。游戏中有三个竖立的柱子，通常称为"A"、“B”、“C”。最初，所有的圆盘按照从大到小的顺序叠放在"A"柱子上，最大的圆盘在底部，最小的圆盘在顶部。游戏的目标是将所有的圆盘从"A"柱子移动到"C"柱子上，但在移动过程中要遵守以下规则：

1. 一次只能移动一个圆盘；
2. 每次移动必须将一个圆盘从柱子的顶部移到另一个柱子的顶部；
3. 移动过程中，大圆盘不能放在小圆盘的上面。

通过按照规则逐个移动圆盘，最后把所有圆盘都移动到"C"柱子上就完成了游戏。汉诺塔问题被广泛用作数学问题和编程算法的练习。它展示了递归算法的应用，因为解决汉诺塔问题的常用方法就是利用递归。

2. 分析算法原理

2.1. 当盘子的数量为1

初始情况如下：

此时只需要将A柱子的盘子直接移动到C柱子上即可。 

 2.2. 当盘子的数量为2

初始情况如下：

我们的目的是，将这两个盘子从A柱子移动到C住柱子。而要想将a盘子移动到C柱子上，那么首先要将b移动到B柱子上。

此时我们可以分为三个过程：

step 1：将b盘子以C柱子为辅助，移动到B柱子。

step 2：将a盘子直接移动到C柱子。

step 3：将b盘子以A柱子为辅助，移动到C柱子。

step 1：

将b盘子以C柱子为辅助，移动到B柱子

step 2：

将a盘子直接移动到C柱子

step 3：

将b盘子以A柱子为辅助，移动到C柱子

此时经过上面的三个过程就达到了我们的目的。

2.3. 当盘子的数量为3时

我们的目的是，将这三个盘子从A柱子移动到C住柱子。而要想将a盘子移动到C柱子上，那么首先要将a上面的柱子(把b和c看作为一个整体)移动到B柱子上。此时将b和c移动到B柱子上不就是当盘子数量为2吗，因此此时我们依旧可以分为三个过程：

step 1：将b和c盘子以C柱子为辅助，移动到B柱子。

step 2：将a盘子直接移动到C柱子。

step 3：将b和c盘子以A柱子为辅助，移动到C柱子。

step 1：将b和c盘子以C柱子为辅助，移动到B柱子

step 2： 将a盘子直接移动到C柱子。

step 3： 将b和c盘子以A柱子为辅助，移动到C柱子

以此类推，我们发现，对于一个大问题，是可以被分为若干个相同类型的子问题，而这就是能用递归的原因。

那么我们的总结就是：

递归结束条件： 当盘子的数量 == 1时，直接处理； 

递归中间过程： 当盘子的数量 >= 2时，我们分三个步骤处理； 

我们将最下面的盘子称之为 Last； Last上面的所有盘子称之为 All

step 1： 将A柱子 "Last" 的 "All"  借助C柱子 移动到 B柱子。

step 2： 将A柱子 "Last" 直接移动到 C柱子上。

step 3： 将B柱子 "ALL" 借助 A柱子 移动到 C柱子上。

3. 编写代码

既然可以用递归处理，那么如何编写递归代码呢？我们可以分为三个步骤。

3.1. 挖掘重复子问题

这个步骤决定了递归的函数头，将问题抽象为函数头

汉诺塔的重复子问题：

将A柱子上的一堆盘子，以B柱子为辅助，移动到C柱子。

// 函数头如下:
// A、B、C 分别代表三个柱子
// n代表你要将几个盘子从A柱子,以B盘子为辅助,移动到C柱子
void _hanota(A,B,C,n);

3.2. 只关心某一个子问题如何处理

这个步骤决定了递归的函数体。这一步只需要关注某一个子问题如何处理的，经过我们的分析算法原理，我们得知了任何一个子问题可以被分为三个过程，如下：

我们将最下面的盘子称之为 Last； Last上面的所有盘子称之为 All

step 1： 将A柱子 "Last" 的 "All"  借助C柱子 移动到 B柱子。

step 2： 将A柱子 "Last" 直接移动到 C柱子上。

step 3： 将B柱子的 "ALL" 借助 A柱子 移动到 C柱子上。

//step 1： 将A柱子 "Last" 的 "All"  借助C柱子 移动到 B柱子。
void _hanota(A,C,B,n-1);
//step 2： 将A柱子 "Last" 直接移动到 C柱子上。
A.back() --->  C
//step 3： 将B柱子上的 "ALL" 借助 A柱子 移动到 C柱子上。
void _hanota(B,A,C,n-1);

3.3. 递归的结束条件

这个步骤决定了递归的出口，如何判定呢？ 当一个问题不可以在被分为相同类型的子问题时，此时就是递归的结束条件。

经过我们前面的分析，当盘子的数量 == 1时，直接处理，此时就是递归的结束条件。

if(n == 1)
    return ;

3.4. 代码的编写

有了上面的分析，代码就非常简单了：

class Solution {
public:
 
    void _hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C,size_t n)
    {
        // 递归出口
        if(n == 1)
        {
            C.push_back(A.back());
            A.pop_back();
            return ;
        }
        // step 1:
        _hanota(A,C,B,n-1);
        // step 2:
        C.push_back(A.back());
        A.pop_back();
        // step 3:
        _hanota(B,A,C,n-1);
    }
 
    void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) {
        _hanota(A,B,C,A.size());
    }
};

4. 递归展开图分析

为了更好地理解上面的代码，我们试画一下当N == 3时的递归展开图。同样，为了更好地画递归图，我们将递归出口的逻辑以  ’#‘ 表示，step 1、step 2、step 3、 分别以 (1)、(2)、(3)表示。

经过我们上面的函数的左边的递归展开图，我们应该可以了解它的过程了，当我们以宏观角度看，认为把A柱子上的b和c这两个盘子经由C柱子辅助移动到B柱子，是一个步骤；但是递归展开后，我们发现，每次当函数的盘子数量1时，才会移动盘子(而且移动的最上面的盘子)。所以我们的代码中移动的是A.back()，最后一个元素，而不是A[0]。

至此，我们的汉诺塔就此结束。