Brain Teaser概率类 - 抛硬币

问题

你有 17 个硬币，我有 16 个硬币，我们同时抛掷所有硬币。 如果你有更多的正面，那么你赢，否则我赢。 你获胜的概率是多少？

解答

划分出3个相互独立的事件：你抛前16枚硬币；我抛16枚硬币；你抛最后一枚硬币。首先考虑前两个事件：

1. 你的正面比我多，概率为p. 此时无论「你抛最后一枚硬币」的结果如何，都是你赢。
2. 你的正面和我一样多，概率为1-2p. 此时当且仅当「你抛最后一枚硬币」的结果为正面（概率为1/2），结果为你赢。
3. 你的正面比我少，概率为p. 此时无论「你抛最后一枚硬币」的结果如何，都是我赢。

综上所述你赢的概率为p + (1-2p) * 1/2 = 1/2.

解答2

对于每种可能的取样结果，构造对称的取样结果：每一个硬币的正反面翻转的情况。

1. 若原始结果为你赢，则你的正面不小于我的正面+1，等价于你的反面不大于我的反面。翻转后你的正面不大于我的正面，我赢。
2. 若原始结果为我赢，则你的正面不大于我的正面，翻转后你的反面不大于我的反面，你赢。

由对称性易见你赢的概率为1/2.

此解的关键是发掘出「你的反面不大于我的反面」这一条件。