表象变换与矩阵元

表象变换与矩阵元
- 表象变换
一维粒子哈密顿量 $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$

表象中的矩阵元

$(x)_{x'x''}=\left \langle x'| x|x''\right \rangle=\int\delta(x-x')x\delta(x-x'')dx=x'\delta(x'-x'')$
- 态的表象变换
$F:<k|\varphi>=a_k;F':<\alpha|\varphi>=a_\alpha$

$<a|\varphi>=\sum_k<a|k><k|\varphi>=\sum_kS_{\alpha k}a_k$
- 不难证明
- 算符的表象变换
$L_{jk}=<j|\hat{L}|k>$
- 坐标表象
$<x|p'>=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}exp(ip'/\hbar)$

Non-denumerable basis
1. $<x|y>=\delta(x-y)$
2. $\hat{x}|x>=x|x>$
3. $\hat{x}^\dagger=\hat{x}\Rightarrow <x|\hat{x}=x<x|$
4. $\hat{p}^\dagger=\hat{p}\Rightarrow <p|\hat{p}=p<p|$
5. $p|x>=\hat{p}<x|=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}<x|$
6. $<\phi|\psi>=\int dx<\phi|x><x|\psi>=\int dx \phi^*(x)\psi(x)$
7. $<\phi|\hat{x}|\psi>=<\phi|\hat{x}\hat{1}|\psi>=\int dx<\phi|\hat{x}|x><x|\psi>=\int dx <\phi|x>x<x|\psi>=\int dx\phi^*(x)x\psi(x)$
8. $<x|p>=\frac{e^{ipx/\hbar}}{\sqrt{2\pi\hbar}}$
9. $\frac{1}{2\pi}\int due^{i(p-p')u}=\delta(p-p')$
- 在坐标表象中动量表示为： $-i\hbar\frac{\partial }{\partial x}$
- 坐标在动量表象中表示为： $i\hbar \frac{\partial }{\partial p}$
表象变换
- 表象变换就像坐标变换一样可以微操
波函数的变换

$\begin{matrix} \Psi(t)\rangle=\sum_aC_a(t)|a\rangle=\sum_bD_b(t)|b\rangle\\ (C_a(t)=\langle a|\Psi(t)\rangle;D_b(t)=\langle b|\Psi(t)\rangle) \end{matrix}$

容易证明： $C_a(t)=\sum_bS_{ab}D_b(t)$

其中： $S_{ab}=\langle a|b\rangle$

$S_{ab}$ 构成变换矩阵

A表象下的波函数C_a B表象下的波函数D_b

算符的变换

$F_a=SF_bS^{-1}=SF_bS^+$

泡利矩阵

$\hat{\sigma_x}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 &0 \end{pmatrix};\hat{\sigma_u}=\begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix};\hat{\sigma_z}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$
- 泡利矩阵是厄米的
- 泡利算符是单位算符
泡利矩阵的对易关系

$[\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z;[\sigma_y,\sigma_z]=2i\sigma_x;[\sigma_z,\sigma_x]=2i\sigma_y$

$[\sigma^2,\sigma_x]=[\sigma^2,\sigma_y]=[\sigma^2,\sigma_z]=0$

$\sigma$ 的分量之间满足反对易条件
- 泡利矩阵的完备性
- 例题
  - 自旋1/2的粒子处于态
$\langle \sigma_x\rangle = \langle \Omega |\sigma_x|\Omega\rangle=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1-i & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 &0 \end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1-i\\ 2 \end{pmatrix}=\frac{2}{3}$
- $\sigma_x\rightarrow\sigma_z$ 的变换
$\Phi_a=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix},\Phi_b=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}$

$\Psi_a^+=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix};\Psi_b^+=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$

求变换矩阵 $S=\begin{pmatrix} S_{11} &S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}$

$S_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$S=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1& -1 \end{pmatrix}$
- 任意态 $\begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}=a_1\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}+a_2\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\frac{b_1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}+\frac{b_2}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}$

那么： $C_a\equiv \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix};D_b\equiv \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix}$

那么波函数变换就是： $\begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1& -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix}$

那么算符变换就是： $S\sigma_xS^{-1}=\sigma_z$

习题解答
- 动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元
动量算符的本征函数 $\psi_p(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}}e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot \vec{r}}$

$\hat{L_x}=\hat{y}\hat{P_z}-\hat{z}\hat{P_y}$

$(\hat{L}_x)_{x\rightarrow p}=\hat{U}^+\hat{L}_x^x\hat{U}=<\psi_p(x)|\hat{L}_x|\psi_p(x)>$
- 线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元
设已知在 $\hat{L}^2$ 和 $\hat{L}_z$ 的共同表象中，算符 $\hat{L}_x$ 和 $\hat{L}_y$ 的矩阵分别为

$L_x=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0& 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 &0 \end{bmatrix}$ $L_y=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 0& -i & 0\\ i & 0 & -i\\ 0 & i &0 \end{bmatrix}$

求它的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化
相关阅读:
Shell编程中Shift的用法
 应用安全系列之四十：登录常见问题以及预防方法
 Ribbon饥饿加载
 基本算法——直接选择排序
 elasticsearch-1.7.1 (es Windows 64) 安装、启动、停止的详细记录
 vue的路由守卫中，在beforeRouteEnter中动态获取路由地址信息之to、from、next & vm的使用
 MySQL学习笔记（1）——简单操作
 在Eclipse中使用Junit
构建外部模块（Building External Modules）
Qt还是尽量使用UTF8编码
原文地址：https://blog.csdn.net/Chandler_river/article/details/134192975

Non-denumerable basis

表象变换

波函数的变换

算符的变换

泡利矩阵

泡利矩阵的对易关系

习题解答