有关熵、相对熵(KL散度)、交叉熵、JS散度、Wasserstein距离的内容

写在前面

• 最近学了一些关于熵的内容，为增强自己对这些内容的理解，方便自己以后能够温习，随手记录了相关的介绍，可能有不对的地方，敬请谅解。

信息量

• 任何事件都会承载一定的信息，事件发生的概率越大，其含有的信息量越少，事件发生的概率越小，其含有的信息量越多。比如昨天下雨了，是一个既定的事实，所以其信息量为0，天气预报说明天会下雨，是一个概率事件，其信息量相对较大。

• 假设$X$是一个离散型随机变量，$p(X=x_0)$表示随机变量取值为$x_0$的概率，那么$X=x_0$的信息量的计算公式：
  $$I(x_0)=-\log (p(x_0))$$

熵

• 熵描述的是随机变量不确定性的程度。

• 如果某些事件出现的概率非常高，说明有较高的信心说明这些事情会发生，但如果每个事件发生的概率都比较平均，说明对每个事件的发生与否没有信心。比如四个事件的发生概率为$(0.97,0.1,0.1,0.1)$，此时熵较低，因为第一个事件发生的概率非常高，而如果四个事件发生的概率为$(0.24,0.26,0.25,0.25)$，这四个事件发生的概率都差不多，此时熵较高，不能够有很高的自信说明哪个事件会发生。

• 假设随机变量$X$有$n$个取值，$X$取值为$x_i$时的概率为$p(x_i)$，计算公式为：
  $$H(X)=-\sum _{i=0}^{n}p(x_i)\log (p(x_i))$$

相对熵（KL散度）

• 相对熵用于描述同一个变量在两个独立的概率分布之间的差异。

• 假设$P$表示真实分布，$Q$表示模型通过学习得到的预测分布，也称拟合分布。那么用$KL$散度定义两个分布之间的差异：

  • $P$相对于$Q$称为前向散度（常用于机器学习领域）：
    $$D_{KL}(p||q)=E_p(\log (\frac{p}{q}))=\sum _{i=0}^{n}p(x_i)\log (\frac{p(x_i)}{q(x_i)})$$

  • $Q$相对于$P$称为反向散度（常用于强化学习邻域）：
    $$D_{KL}(q||p)=E_q(\log (\frac{q}{p}))=\sum _{i=0}^{n}q(x_i)\log (\frac{q(x_i)}{p(x_i)})$$

  • 注意：上述公式，分子是哪个分布，计算KL散度参考的就是哪个分布，比如前向散度中，$P$就是参考分布，也称真实分布，而$Q$就是近似分布，也称理论分布。在计算KL散度时，使用的是基于参考分布中的随机变量，也就是在计算时，我们使用的是参考分布中每个随机变量的概率值，以及近似分布中相应变量的概率值，

• 当分布$Q$和分布$P$越接近，说明这两个分布越相似，那么$KL$散度值越小。

• 由于通常情况下，$D_{KL}(p||q)$和$D_{KL}(q||p)$不相等，所以KL散度不满足对称性。同时也不满足三角不等式。

交叉熵

• 对$KL$散度公式变形：
  $$D_{KL}(p||q)=\sum _{i=0}^{n}p(x_i)\log (p(x_i))-\sum _{i=0}^{n}p(x_i)\log (q(x_i))$$

• 上面等式中的$-{\sum }_{i=0}^{n}p(x_i)\log (q(x_i))$就是交叉熵$H(p,q)$

• 而$P$的熵为：
  $$H(p)=-\sum _{i=0}^{n}p(x_i)\log (p(x_i))$$

• 如果真实分布$P$不变，那么$H(p)$就是一个常数，所以在训练模型时，我们只需要关注交叉熵，最小化交叉熵的值。
  $$H(p,q)=-\sum _{i=0}^{n}p(x_i)\log (q(x_i))$$

JS散度

• JS散度描述的是两个分布的相似程度。

• 对于概率分布$P$和$Q$，js散度的计算公式如下：
  $$JS(P||Q)=\frac{1}{2}{D}_{KL}(P||M)+\frac{1}{2}{D}_{KL}(Q||M)$$

• 其中$M$是$P$和$Q$的平均分布。平均分布的计算过程如下：

  • 对于同一个事件$i$，假设事件$i$在$P$中发生的概率为$P(i)$，在$Q$中发生的概率为$Q(i)$，那么事件$i$在$M$中发生的概率为：
    $$M(i)=\frac{P(i)+Q(i)}{2}$$

  • 注意：当两个分布不存在重叠部分时，计算它们的平均分布没有意义，因为事件$i$在$P$中发生，在$Q$中却不发生。这里说的重叠是指$P$和$Q$的支撑集不相交，简单来说，就是$P$和$Q$的随机变量的取值集合没有交集。

• 如果$P$和$Q$的分布不重叠，那么计算得到的JS散度是一个常数。（个人解释如下，不完全正确，仅供参考）

  • 如果$P$和$Q$的分布不重叠，根据KL散度的定义可知，在计算KL散度时，会基于参考分布的随机变量来计算，那么由此计算得到的$M$会是相应分布的$\frac{1}{2}$。进而$D_{KL}(P||M)={\sum }_{i=0}^{n}P(x_i)\log (\frac{P(x_i)}{\frac{1}{2}P(x_i)})={\sum }_{i=0}^{n}P(x_i)\log (2)=\log (2){\sum }_{i=0}^{n}p(x_i)=\log 2$，同样可以计算$D_{KL}(Q||M)=\log 2$，所以$JS(P||Q)=\log 2$，所以计算得到的JS散度是一个常数。同理，当$P$和$Q$完全重叠时，$M$和两者的分布相同，j计算得到的JS散度为0。
  • 注意：由于$P$和$Q$不重叠时，JS散度是一个常数，在使用梯度下降作为优化算法时，通过JS散度得到的梯度为0，对求解最优解没有任何帮助。

Wasserstein距离

• 当两个分布不重叠时，计算$KL$散度是无意义的，因为在$P$中出现的事件$i$，在$Q$中不会出现，即$q(x_i)=0$，而在计算$KL$散度的公式中，$D_{KL}(p||q)={\sum }_{i=0}^{n}p(x_i)\log (\frac{p(x_i)}{q(x_i)})$，$q(x_i)$是分母，所以此时$KL$散度无意义。

• Wasserstein距离用于描述两个分布之间的距离。

• 分布$P$和$Q$的Wasserstein距离定义如下：
  $$W(P,Q)=in{f}_{\gamma \sim \Gamma (P,Q)}{E}_{(X,Y)\sim \gamma }(||X-Y||)$$

  • 其中$\Gamma (P,Q)$表示$P$和$Q$所有可能的联合分布集合，$\gamma$表示所有可能联邦分布中的一个，$(X,Y)\sim \gamma$表示从联合分布中随机采样一个样本$(X,Y)$，$||X-Y||$表示计算样本$(X,Y)$的距离，$E_{(X,Y)\sim \gamma }(||X-Y||)$表示在联合分布为$\gamma$时，样本距离的期望值。整个式子也就是找到一个可能的联合分布$\gamma$，使得这个期望值最小。
  • 如果把分布$P$和$Q$看成是土堆$A$和土堆$B$，那么Wassersteion距离就是将土堆$A$，推到土堆$B$的最少运算成本，也就是将一个分布变换为另一个分布的最小成本。

Reference：https://zhuanlan.zhihu.com/p/74075915