考虑如何计算 f ( U ) f(U) f(U),我不知道如何能想到下面的解法
一个技巧是把路径挂在 l c a lca lca 上
我们令
f
u
f_{u}
fu 表示完全包含在
u
u
u 的子树中的路径的最大独立集
考虑转移,记
s
u
m
u
=
∑
v
∈
s
o
n
(
u
)
f
v
sum_{u}=\sum\limits_{v\in son(u)}f_v
sumu=v∈son(u)∑fv
上面的东西可以用 B I T BIT BIT 维护,具体来说,它需要实现单点加,链查,而因为遍历树的独特结构,所以我们可以把它变成子树加,单点查
同时我们需要另一个数组
g
u
g_u
gu 表示
u
u
u 子树外的路径的最大独立集
继续考虑分类转移,我们这里考虑用
g
u
g_u
gu 的答案推导
g
v
(
v
∈
s
o
n
(
u
)
)
g_v(v\in son(u))
gv(v∈son(u)) 的答案
上面的东西可以把树拍平成 d f s dfs dfs 序,然后线段树做,注意要特殊考虑 l c a = u lca=u lca=u 的情况
最后就可以考虑计算答案
暴力计算我在程序中用注释标出了,然后就是优化这个暴力,这个不算太难,注意一些细节即可
时间复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
#include
#define int long long
#define lowbit(x) x&-x
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=300100,P=998244353;
struct Lines{ int u,v,w;};
int n,m,ans;
int depth[N],up[N][20],siz[N];
int Ldfn[N],Rdfn[N],dfs_clock;
int f[N],sum[N];//f[u]:u子树内不交路径的权值之和
int g[N];//g[u]:u子树外不交路径的权值之和
int e[N<<1],ne[N<<1],h[N],idx;
vector<int> G[N];
vector<Lines> ln[N];
inline int read(){
int FF=0,RR=1;
char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
return FF*RR;
}
void predfs(int u,int fa){
depth[u]=depth[fa]+1;
Ldfn[u]=++dfs_clock,up[u][0]=fa;
for(int i=h[u];~i;i=ne[i]) if(e[i]!=fa) G[u].pb(e[i]),predfs(e[i],u);
Rdfn[u]=dfs_clock;
}
int get_lca(int x,int y){
if(depth[x]>depth[y]) swap(x,y);
for(int i=18;i>=0;i--) if(depth[up[y][i]]>=depth[x]) y=up[y][i];
if(x==y) return x;
for(int i=18;i>=0;i--) if(up[x][i]!=up[y][i]) x=up[x][i],y=up[y][i];
return up[x][0];
}
struct BIT{
int tr[N];
void inc(int x,int v){ for(;x<=n;x+=lowbit(x)) tr[x]+=v;}
void add(int l,int r,int v){ inc(l,v),inc(r+1,-v);}
int ask(int x){
int res=0;
for(;x;x-=lowbit(x)) res+=tr[x];
return res;
}
}BIT;
struct SGT{
int seg[N<<2];
void modify(int l,int r,int x,int pos,int v){
if(l==r){ seg[x]=max(seg[x],v);return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=pos) modify(l,mid,x<<1,pos,v);
else modify(mid+1,r,x<<1^1,pos,v);
seg[x]=max(seg[x<<1],seg[x<<1^1]);
}
int query(int l,int r,int x,int L,int R){
if(L<=l&&r<=R) return seg[x];
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=L&&mid<R) return max(query(l,mid,x<<1,L,R),query(mid+1,r,x<<1^1,L,R));
if(mid>=L) return query(l,mid,x<<1,L,R);
return query(mid+1,r,x<<1^1,L,R);
}
void upd(int pos,int v){ modify(1,n,1,pos,v);}
int ask(int l1,int r1,int l2,int r2){
int ret=0;
if(l1<l2) ret=max(ret,query(1,n,1,l1,l2-1));
if(r2<r1) ret=max(ret,query(1,n,1,r2+1,r1));
return ret;
}
}sg;
void calc_f(int u){
for(int v:G[u]) calc_f(v),sum[u]+=f[v];
//u不在路径上
f[u]=sum[u];
//u在路径上
for(auto &E:ln[u]){
E.w+=sum[u]-BIT.ask(Ldfn[E.u])-BIT.ask(Ldfn[E.v]);
f[u]=max(f[u],E.w);
//单点加+链求和+dfs的性质->子树加,单点查,单log
}
BIT.add(Ldfn[u],Rdfn[u],f[u]-sum[u]);
}
void calc_g(int u){
sort(ln[u].begin(),ln[u].end(),[&](Lines x,Lines y){ return x.w>y.w;});
for(int v:G[u]){
g[v]=g[u]+sum[u]-f[v];
for(auto E:ln[u])
if(get_lca(E.u,v)!=v&&get_lca(E.v,v)!=v){//u,v没有一端在v的子树中
g[v]=max(g[v],E.w+g[u]-f[v]);break;
}
g[v]=max(g[v],sg.ask(Ldfn[u],Rdfn[u],Ldfn[v],Rdfn[v])-f[v]);
}
for(auto E:ln[u]) sg.upd(Ldfn[E.u],E.w+g[u]),sg.upd(Ldfn[E.v],E.w+g[u]);
for(int v:G[u]) calc_g(v);
}
void calc_ans(int u){
int res=0;
for(int v:G[u]) calc_ans(v),res=(res+siz[u]*siz[v])%P,siz[u]+=siz[v];
siz[u]++;
ans-=(g[u]+f[u])%P*(2*res+2*siz[u]-1)%P;
res=(2*(siz[u]-1)*(n-siz[u])%P+2*res+2*n-1)%P;
ans+=(f[u]-sum[u])%P*res%P;
ans=(ans%P+P)%P;
}
void add(int x,int y){ e[idx]=y,ne[idx]=h[x],h[x]=idx++;}
// int get_sum(int x,int y){
// int lca=get_lca(x,y),res=0;
// while(x!=lca) res+=f[x]-sum[x],x=up[x][0];
// while(y!=lca) res+=f[y]-sum[y],y=up[y][0];
// res+=f[lca]-sum[lca];
// return res;
// }
signed main(){
n=read(),m=read();
memset(h,-1,sizeof(h));
for(int i=1;i<n;i++){
int x=read(),y=read();
add(x,y),add(y,x);
}
predfs(1,-1);
for(int j=1;j<=18;j++) for(int i=1;i<=n;i++) up[i][j]=up[up[i][j-1]][j-1];
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=read(),v=read(),w=read();
int lca=get_lca(u,v);
ln[lca].pb({u,v,w});
}
calc_f(1),calc_g(1),calc_ans(1);
ans=(ans+f[1]%P*n%P*n)%P;
// for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)
// ans+=f[1]-g[get_lca(i,j)]-f[get_lca(i,j)]+get_sum(i,j);
printf("%lld\n",ans);
fprintf(stderr,"%d ms\n",int64_t(1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC));
return 0;
}