2023NOIP A层联测19 多边形

题目大意

有一个正$n$边形，每个点的颜色为红色、蓝色、绿色中的一种，保证每种颜色至少出现一次且$n$边形上相邻的两个点颜色不同。你想要连接$n-3$条对角线，使得对角线把图分成$n-2$个三角形，并且每个三角形的三个顶点的颜色两两不同。

请输出任意一个合法的方案，有$n-3$行，每行两个正整数$x,y$，表示一条对角线。如果不存在合法方案，则输出$Impossible!$。

样例输入

6
RBRGBG
1
2

样例输出

2 6
3 5
3 6
1
2
3

$4\le n\le 10^6$

题解

如果一个颜色只出现了一次，则因为相邻的两个点颜色不同，我们直接将这个点与所有其他点连接即可。

否则，一定会出现相邻三个点颜色两两不同，直接将这三个点划分为一个三角形，并删除中间那个点即可。可以发现，始终满足相邻的两个点颜色不同，所以这样做之后还是满足条件、可以继续删下去的。

当第一次出现有一种颜色只出现了一次的情况时，按上面所说，我们直接将这个点与所有其他点连接即可。

我们可以用链表来维护没有被删除的点，然后一路删下去即可。因为每种颜色至少出现一次，而且一直都不会出现两个点颜色相同的情况，所以在出现有一种颜色只出现一次的情况之前，总会出现相邻三个点颜色两两不同，总能一直删下去。那么， 就不会有无解的情况。

时间复杂度为$O(n)$。

code

#include
using namespace std;
const int N=1000000;
int n,ct[3],v[N+5],l[N+5],r[N+5],z[N+5];
char s[N+5];
struct node{
	int x,y;
};
vector<node>ans;
void del(int i){
	z[i]=1;
	r[l[i]]=r[i];l[r[i]]=l[i];
}
void solve(){
	int bz=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!z[i]&&ct[v[i]]==1){
			bz=i;break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!z[i]&&i!=bz&&l[i]!=bz&&r[i]!=bz){
			ans.push_back((node){bz,i});
		}
	}
	for(int i=0;i<ans.size();i++){
		printf("%d %d\n",ans[i].x,ans[i].y);
	}
}
int main()
{
//	freopen("polygon.in","r",stdin);
//	freopen("polygon.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(s[i]=='R') v[i]=0;
		else if(s[i]=='G') v[i]=1;
		else v[i]=2;
		++ct[v[i]];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		l[i]=i-1;r[i]=i+1;
	}
	l[1]=n;r[n]=1;
	if(ct[0]==1||ct[1]==1||ct[2]==1){
		solve();return 0;
	}
	for(int i=1;;i=r[i]){
		while(v[l[l[i]]]+v[l[i]]+v[i]==3){
			--ct[v[l[i]]];
			ans.push_back((node){l[l[i]],i});
			del(l[i]);
			if(ct[0]==1||ct[1]==1||ct[2]==1){
				solve();return 0;
			}
		}
	}
	return 0;
}
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