【算法挨揍日记】day17——1137. 第 N 个泰波那契数、面试题 08.01. 三步问题

 1137. 第 N 个泰波那契数

1137. 第 N 个泰波那契数

题目描述： 

泰波那契序列 Tn 定义如下： 

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

 解题思路：

本题很明显

1. 状态表示dp【i】为第n个泰波那契数，本题是第一种情况，后面的题目我们会不断遇到1，2，3的情况，我们后面再细讲
2. 而状态转移方程为题目也直接给了出来， Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2，状态转移方程： Tn = Tn -1+ Tn-2 + Tn-3
3. 初始化（防止越界的情况）：本题很明显Tn-3的时候当，n小于3的时候会出现越界的情况，因此我们要提前初始化好dp【0】 ，dp【1】，dp【2】
4. 填表顺序： 左到右
5. 返回值；dp【n】

细节问题： 

•  当n<3的时候，就不需要进行Tn = Tn -1+ Tn-2 + Tn-3计算因此就可以直接返回

空间优化问题：

本题如果我们按照上面的写法的话，就需要开辟一个n+1大小的vector数组dp，当我们在计算第n个位置的时候，我们只需要n-1，n-2，n-3的位置，如果前面还有n-4和n-5都不需要的

因此我们就可以直接用三个变量a，b，c来优化，使得空间复杂度为o(1)

解题代码： 

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        if (n == 0)return 0;
        if (n == 1 || n == 2)return 1;
        vector<int>dp(n + 1);
        dp[0] = 0, dp[1] = 1, dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++)
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
        return dp[n];
    }
};

 空间优化后：

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        if (n == 0)return 0;
        if (n == 1 || n == 2)return 1;
        int a = 0, b = 1, c = 1;
        int d = 0;
        for (int i = 3; i <= n; i++)
        {
            d = a + b + c;
            a = b; b = c; c = d;
        }
        return d;
    }
};

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面试题 08.01. 三步问题

面试题 08.01. 三步问题

题目描述：

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。 

 解题思路：

分析一下题目的意思：

当从0号台阶到1号台阶，只有1种方法；

当从0号台阶到2号台阶，我们可以直接从0号台阶蹦到2号台阶，也可以从0-1-2，总共两种解法

当从0号台阶到3号台阶，我们可以从0号直接蹦到3号台阶，也可以0-1-2-3和0-2-3和0-1-3，总共4种解法

 眼尖的同学这个时候以及发现了状态转移方程了，我们注意一下（以到4号台阶为例）：我们可以看成从1号到4的方法数+2号到4号的方法数+3号到4号的方法数

1. 因此我们的状态表示dp【i】就表示到达第i号台阶的方法数
2. 状态转移方程：

此时有的同学会有一个疑问：就是我从i-2号台阶到i号台阶的时候不是有两种情况：

• i-2到i
• i-2先到i-1再到i号台阶 

其实不然：i-2先到i-1的这种情况以及是包含在i-1到i的方法数中

1. 初始化（防止越界的情况）：本题很明显Tn-3的时候当，n小于3的时候会出现越界的情况，因此我们要提前初始化好dp【0】 ，dp【1】，dp【2】
2. 填表顺序： 左到右
3. 返回值；dp【n】

 解题代码：

class Solution {
public:
    const int MOD=1e9+7;
    int waysToStep(int n) {
        if(n==1)return 1;
        if(n==2)return 2;
        if(n==3)return 4;
        vector<int>dp(n+1);
        dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=4;
        for(int i=4;i<=n;i++)
            dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%MOD+dp[i-3])%MOD;
        return dp[n];        
    }
};