利用函数乘积求导法则,得到的积分方法,称为分部积分法
正如每个导数公式都蕴含着一个积分公式,函数乘法求导公式也可以推出一个积分公式
设
u
(
x
)
,
v
(
x
)
u(x),v(x)
u(x),v(x)具有连续的导数,则两个函数乘积的导数公式为
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
(uv)'=u'v+uv'
(uv)′=u′v+uv′(1)
移项可得
u
v
′
uv'
uv′=
(
u
v
)
′
−
u
′
v
(uv)'-u'v
(uv)′−u′v(2)
两边同时求不定积分,
∫
u
v
′
d
x
\int{uv'\mathrm{d}x}
∫uv′dx=
u
v
−
∫
u
′
v
d
x
uv-\int{u'v\mathrm{d}x}
uv−∫u′vdx(3),即
∫
u
d
v
\int{u\mathrm{d}v}
∫udv=
u
v
−
∫
v
d
u
uv-\int{v\mathrm{d}u}
uv−∫vdu(3-1)
int(udv)=uv-int(vdu)公式(3),(3-1)称为分部积分公式;公式(3-1)等号左边是 ∫ u d v \int{u\mathrm{d}{v}} ∫udv,可直接读出 v v v,而公式(3)等号左边没有直接给出 v v v而是给出了 v ′ v' v′,需要自己计算 v v v,比如凑微分: v ′ d x v'\mathrm{d}x v′dx= d v \mathrm{d}v dv,从而转换为公式(3-1)
u u u和 d v \mathrm{d}v dv(即 v ′ v' v′)的选取考虑两点
u
u
u的选取:以反对幂三指作为选取
u
u
u的顺序反>对>幂>三>指
选取完 u u u后剩余部分为 v ′ v' v′
∫ x a x d x \int{xa^x}\mathrm{d}x ∫xaxdx= ∫ x d ( 1 ln a a x ) \int{x\mathrm{d}(\frac{1}{\ln{a}}a^x)} ∫xd(lna1ax)= 1 ln a ∫ x d a x + C \frac{1}{\ln{a}}\int{x\mathrm{d}a^x}+C lna1∫xdax+C
∫ x 2 e x d x \int{x^2e^{x}}\mathrm{d}x ∫x2exdx= ∫ x 2 d e x \int{x^2\mathrm{d}e^{x}} ∫x2dex= x 2 e x x^2e^{x} x2ex- ∫ e x d x 2 \int{e^{x}\mathrm{d}x^2} ∫exdx2
∫ e x d x 2 \int{e^{x}\mathrm{d}x^2} ∫exdx2= ∫ e x 2 x d x \int{e^{x}2x{\mathrm{d}x}} ∫ex2xdx= 2 ∫ e x x d x 2\int{e^{x}x{\mathrm{d}x}} 2∫exxdx= 2 ∫ x d e x 2\int{x{\mathrm{d}e^{x}}} 2∫xdex= 2 ( x e x − ∫ e x d x ) 2(xe^{x}-\int{e^x}\mathrm{d}x) 2(xex−∫exdx)= 2 ( x e x − e x ) 2(xe^{x}-e^{x}) 2(xex−ex)= 2 e x ( x − 1 ) 2e^{x}(x-1) 2ex(x−1)
∫ x 2 e x d x \int{x^2e^{x}}\mathrm{d}x ∫x2exdx= x 2 e x x^2e^{x} x2ex- 2 e x ( x − 1 ) 2e^{x}(x-1) 2ex(x−1)= e x ( x 2 − 2 x + 2 ) + C e^{x}(x^2-2x+2)+C ex(x2−2x+2)+C
∫ x ln x d x \int{x\ln{x}}\mathrm{d}x ∫xlnxdx= 1 2 ∫ ln x d x 2 \frac{1}{2}\int{\ln{x}\mathrm{d}x^2} 21∫lnxdx2= 1 2 ( ln x ⋅ x 2 − ∫ x 2 d ln x ) \frac{1}{2}(\ln{x}\cdot{x^2}-\int{x^2}\mathrm{d}\ln{x}) 21(lnx⋅x2−∫x2dlnx)= 1 2 ( x ln x − ∫ x 2 1 x d x ) \frac{1}{2}(x\ln{x}-\int{x^2\frac{1}{x}\mathrm{d}x}) 21(xlnx−∫x2x1dx)= 1 2 x ln x − 1 4 x 2 + C \frac{1}{2}x\ln{x}-\frac{1}{4}x^2+C 21xlnx−41x2+C
∫ arcsin x d x \int{\arcsin{x}\mathrm{d}x} ∫arcsinxdx= arcsin x ⋅ x − ∫ x d arcsin x \arcsin{x}\cdot{x}-\int{x\mathrm{d}\arcsin{x}} arcsinx⋅x−∫xdarcsinx
∫ x arctan x d x \int{x\arctan{x}}\mathrm{d}x ∫xarctanxdx= 1 2 ( arctan x ⋅ x 2 − ∫ x 2 d arctan x ) \frac{1}{2}(\arctan{x}\cdot{x^2}-\int{x^2}\mathrm{d}\arctan{x}) 21(arctanx⋅x2−∫x2darctanx)
∫ e x sin x d x \int{e^{x}\sin{x}}\mathrm{d}x ∫exsinxdx= sin x ⋅ e x − ∫ e x ( cos x ) d x \sin{x}\cdot e^{x}-\int{e^{x}(\cos{x})\mathrm{d}{x}} sinx⋅ex−∫ex(cosx)dx
∫ sec 3 x d x \int{\sec^3}x\mathrm{d}x ∫sec3xdx= ∫ sec x sec 2 x d x \int{\sec{x}\sec^2{x}}\mathrm{d}x ∫secxsec2xdx= ∫ sec x d ( tan x ) \int{\sec{x}\mathrm{d}(\tan{x})} ∫secxd(tanx)= sec x tan x \sec{x}\tan{x} secxtanx- ∫ tan x d ( sec x ) \int{\tan{x}\mathrm{d}(\sec{x})} ∫tanxd(secx)