P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条，棋盘型dp，路径dp

P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 [0,100] 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 m 和 n，表示班里有 m 行 n 列。

接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度。每行的 n 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入 #1复制

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出 #1复制

34

说明/提示

【数据范围】

对于 30% 的数据，满足 1≤m,n≤10。
对于 100% 的数据，满足 1≤m,n≤50。

【题目来源】

NOIP 2008 提高组第三题。

解析：

题目意思：求中（1，1）出发的到（n,m,) 的两条严格不相交的最短路的最大权值

最容易想到的就是将集合划分为四个不重不漏的子集：
f[i][j][k][l] 表示：第一条路径从（1，1）出发到（i，j),第二条路径从（1，1）出发到（k，l)，且严格不相交的两条路的权值的和的最大值

很显然 f[i][j][k[l] 的状态可以由一下几个状态转移而来：
f[i][j-1][k][l-1];

f[i][j-1][k-1][l];

f[i-1][j][k][l-1];

f[i-1][j][k-1][l];

仔细观察，实际上上述划分出来的子集有一个是多余的，即[l],第二个坐标的最后一个坐标，l=i+j-k

所以我们可以将其优化为 f[i][j][k]

优化前的代码：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 55;
int n, m;
int f[N][N][N][N], a[N][N];
 
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			scanf("%d", &a[i][j]);
		}
	}
	memset(f, -1, sizeof(f));
	f[1][1][1][1] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			for (int k = 1; k <= n; k++) {
				for (int l = j + 1; l <= m; l++) {
					if (f[i][j - 1][k][l - 1] != -1) {
						f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i][j - 1][k][l - 1] + a[i][j] + a[k][l]);
					}
					if (f[i][j - 1][k - 1][l] != -1) {
						f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i][j - 1][k - 1][l] + a[i][j] + a[k][l]);
					}
					if (f[i - 1][j][k - 1][l] != -1) {
						f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i - 1][j][k - 1][l] + a[i][j] + a[k][l]);
					}
					if (f[i - 1][j][k][l - 1] != -1) {
						f[i][j][k][l] = max(f[i][j][k][l], f[i - 1][j][k][l - 1] + a[i][j] + a[k][l]);
					}
				}
			}
		}
	}
	cout << f[n][m - 1][n - 1][m];
	return 0;
}

或：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 55;
int n, m;
int f[N][N][N][N], a[N][N];
 
int Max(int aa, int b, int c, int d) {
	aa = max(aa, b);
	aa = max(aa, c);
	aa = max(aa, d);
	return aa;
}
 
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			scanf("%d", &a[i][j]);
		}
	}
	memset(f, -1, sizeof(f));
	f[1][1][1][1] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			for (int k = 1; k <= n; k++) {
				for (int l = j + 1; l <= m; l++) {
					f[i][j][k][l] = Max(f[i][j - 1][k][l - 1], f[i - 1][j][k][l - 1], f[i - 1][j][k - 1][l], f[i][j - 1][k - 1][l]) + a[i][j] + a[k][l];
				}
			}
		}
	}
	cout << f[n][m - 1][n - 1][m];
	return 0;
}

优化后的代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 55;
int n, m;
int f[N][N][N], a[N][N];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			scanf("%d", &a[i][j]);
		}
	}
	memset(f, -1, sizeof(f));
	f[1][1][1] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			for (int k = 1; k <= n; k++) {
				if (i == k)continue;
				if (f[i][j - 1][k] != -1) {
					f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i][j - 1][k] + a[i][j] + a[k][i + j - k]);
				}
				if (f[i][j - 1][k - 1] != -1) {
					f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i][j - 1][k - 1] + a[i][j] + a[k][i + j - k]);
				}
				if (f[i - 1][j][k - 1] != -1) {
					f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i - 1][j][k - 1] + a[i][j] + a[k][i + j - k]);
				}
				if (f[i - 1][j][k] != -1) {
					f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i - 1][j][k] + a[i][j] + a[k][i + j - k]);
				}
			}
		}
	}
	printf("%d", f[n][m - 1][n - 1]);
	return 0;
}