高等数学啃书汇总重难点（七）微分方程

同济高数上册的最后一章，总的来说，这篇章内容依旧是偏记忆为主，说难不难说简单不简单：

简单的是题型比较死，基本上就是记公式，不会出现不定积分一般花样繁多的情况；然而也就是背公式并不是想的那样容易，首先要熟记方程的学名，重点记忆每种方程的不同点，即可良好掌握~

1.定义

2.解

3.通解

4.可分离变量的微分方程

5.齐次方程

6.可化为齐次的方程

7.一阶线性微分方程

8.伯努利方程

9.可降解的高阶微分方程

10.高阶线性微分方程

11.常系数齐次线性方程

12.常系数非齐次线性方程（笔记写错序号了，不重要~）

 微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

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考研数学一在这一章的考纲：

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.

3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.

4.会用降阶法解下列形式的微分方程： .

5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.

7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

8.会解欧拉方程.

9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.

（具体的解题步骤看详细的笔记，这里不再赘述~）

• 所谓的微分方程，就是那些包含导数的微分方程~
• 方程组的通解指的是解内包含着任意常数，且这些任意常数的个数与微分方程的个数相同~
• 可分离变量指的是，等号两边可以将x与y完全分开，这样只需要对两侧求积分即可解出方程的解~
• 要注意的是，微分方程的解是我们常说的狭义上的方程
• 齐次方程指的是，方程中的x和y总是以【y/x】的形式出现
• 某些分子与分母中有任意常数的方程，可以采用换元和联立的方式消去未知常数，最终化为齐次方程
• 可分离变量和齐次方程，均为一阶线性方程；一阶指的是求导一次，所谓线性是指在方程中呈现某种线性关系
• 当一阶线性的右侧为0时，我们称之为齐次方程；负责称之为非齐次方程
• 所谓伯努利方程是一种特殊的线性方程——右侧的y为y的n次方，当n为0时，为一阶齐次线性微分方程；当n为1时，为一阶非齐次线性微分方程
• 可降阶的高阶微分方程，指的是连续采用积分将高阶导数的阶降低
• 常系数齐次线性微分方程指的是各阶导数的系数均为常数，该种方程需要通过特征方程计算结果