C++数据结构X篇_22_希尔排序（不稳定的排序）

希尔排序又叫递减增量排序算法，它是在直接插入排序算法的基础上进行改进而来的，综合来说它的效率肯定是要高于直接插入排序算法的；希尔排序是一种不稳定的排序算法。

1. 希尔排序的基本原理

我们之前讲过直接插入排序，它的算法复杂度为O(n^2)，整体来说它的效率很低；但是在两种情况下它表现得很好，我们这里将这两种情况归纳为直接插入排序的两种性质：

• 当待排序的原序列中大多数元素都已有序的情况下，此时进行的元素比较和移动的次数较少；

• 当原序列的长度很小时，即便它的所有元素都是无序的，此时进行的元素比较和移动的次数还是很少。

希尔排序去模拟这两种条件，让插入排序效率更高，这就涉及到分组插入排序。
它首先将待排序的原序列划分成很多小的序列，称为子序列。然后对这些子序列进行直接插入排序，因为每个子序列中的元素较少，所以在它们上面应用直接插入排序效率较高（利用了上面的性质2）。这样的过程可能会进行很多次，每一次都称为一趟，每一趟都将前一趟得到的整个序列划分为不同的子序列，并再次对这些子序列进行直接插入排序。最后由这些子序列组成的整个序列中的所有元素就基本有序了，此时再在整个序列上进行最后一次的直接插入排序（利用了上面的性质1），此后整个序列的排序就完成了。

2. 子序列的划分方式

2.1 平均划分不可行的原因

希尔排序最关键的地方就是如何对整个序列进行划分。我们最直接的想法可能就是按顺序对整个序列进行平均划分，比如有n个元素的序列，我们要把它划分成i个子序列，每个子序列有m个元素（假设n = i * m，当n不能被i整除时可以让最后一个子序列的元素少于其它子序列）。该想法就是让原序列的第0 ~ m-1个元素为第一个子序列（第一个元素的下标为0），第m ~ 2m-1个元素为第二个子序列，以此类推，最后的第n-m ~ n-1个元素为最后一个子序列。

这样的划分虽然简单但是它却不适合希尔排序，这样划分并对子序列进行直接插入排序后，虽然每个子序列中的元素都是有序的，但整个原序列依旧是很无序的。为了便于理解为什么这种方式不行，我们用下图来对它进行说明。

在图1中，原序列有9个元素，我们将它按顺序划分为3个子序列。即最前面的3个元素为第一个子序列，中间3个元素为第二个子序列，最后3个元素为最后一个子序列；图中我们用不同的颜色表示不同的子序列。

可以看到，对每个子序列应用直接插入排序后，虽然每个子序列都是有序的，但整个序列还是很无序的。此时，在整个序列上进行直接插入排序的效率还是很低。整个序列依旧无序的原因是每个元素只在它所在的子序列中移动，它的新位置离它的最终位置（即整个序列排好序后的位置）还是很远。

因此，子序列划分的方法必须保证对子序列进行排序后，每个元素在整个序列中的移动范围更大。这样跳跃式的位置移动，才可能让每个元素离它的最终位置较近，因而整个序列才是比较有序的。

2.2 增量方式进行子序列划分

希尔排序采用的是按增量的方式进行子序列划分，将整个序列中下标值相差固定值（增量）的所有元素划分到同一个子序列中。比如，整个序列有9个元素，而增量为3，那么第0、3、6个元素属于第一个子序列，第1、4、7个元素属于第二个子序列，第2、5、8个元素属于最后一个子序列。

为了便于理解，我们同样用图2来展示这种增量划分方式。我们同样用不同的颜色表示属于不同子序列的元素，并标出了每个子序列的元素的下标值。可以看到，以增量方式划分的子序列在整个序列中是交错出现的。

按照增量划分的时候，假设增量为increment，那么整个序列也将划分为increment个子序列。可以这样理解，我们遍历整个序列中的每个元素，并为每个元素指定它所属的子序列。首先是下标为0的元素，它属于第一个子序列；然后是下标为1的元素，它属于第二个子序列；以此类推，可知前increment个元素（下标为0 ~ increment-1）属于不同的子序列，共计increment个。从下标为increment的元素开始，每一个元素的下标值减去increment都大于或等于0，即这些元素都属于一个已存在的子序列。因此，整个序列将被划分为increment个子序列。

在实际的应用中，待排序的原序列可能有很多个元素，成千上万甚至上亿。此时，为了充分利用希尔排序的效率，应该进行多趟排序，每一趟用不同的（严格说是递减的）增量对整个序列进行划分。即首先用增量i1对原序列进行划分，并对每个子序列进行直接插入排序；然后对前一步得到的整个序列用一个新的且较小的增量i2（i2小于i1）进行划分，并对每个子序列进行直接插入排序；然后又对前一步得到的整个序列用一个更小的增量i3（i3小于i2）进行划分，并对每个子序列进行直接插入排序。以此类推，直到最后增量为1，此时可以认为整个序列就是一个唯一的子序列，对它进行直接插入排序之后整个原始序列都是有序的了，希尔排序算法结束。

3. 希尔排序的代码实现

• 先分组，递减增量使得每一组元素变少，降低元素个数
• 然后对每一组分别进行插入排序
• 整体更趋近于元素序列基本有序
• 最后一次的增量值必为1，进行直接插入排序

3.1 核心代码

//希尔排序
void shell_sort(int arr[], int length)//升序
{
	int increasement = length;
	int i, j, k;
	do
	{
		//确定分组增量，递减，每次计算increasement，最后肯定为1，再对所有数据进行一次插入排序
		increasement = increasement / 3 + 1;
		for (i = 0; i < increasement; i++) //确定每一组第一个元素
		{
			//j开始为一组的第二个元素，跨度为increasement
			for (j = i + increasement; j < length; j += increasement)
			{
				if (arr[j] < arr[j - increasement])
				{
					int temp = arr[j];
					for (k = j - increasement; k >= 0; k -= increasement)
					{
						if (arr[k] > temp)
						{
							arr[k + increasement] = arr[k];
						}
						else
						{
							break;
						}
					}
					arr[k + increasement] = temp;
				}
			}
		}
	} while (increasement > 1);
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

3.2 整体代码实现

#include 
using namespace std;

void swap(int* a, int* b)
{
	int temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}

//打印数组
void printArr(int arr[])
{
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		cout << arr[i] << endl;
	}
}

//希尔排序
void shell_sort(int arr[], int length)//升序
{
	int increasement = length;
	int i, j, k;
	do
	{
		//确定分组增量，递减，每次计算increasement，最后肯定为1，再对所有数据进行一次插入排序
		increasement = increasement / 3 + 1;
		for (i = 0; i < increasement; i++) //确定每一组第一个元素
		{
			//j开始为一组的第二个元素，跨度为increasement
			for (j = i + increasement; j < length; j += increasement)
			{
				if (arr[j] < arr[j - increasement])
				{
					int temp = arr[j];
					for (k = j - increasement; k >= 0; k -= increasement)
					{
						if (arr[k] > temp)
						{
							arr[k + increasement] = arr[k];
						}
						else
						{
							break;
						}
					}
					arr[k + increasement] = temp;
				}
			}
		}
	} while (increasement > 1);

	printArr(arr);
}

int main()
{
	int arr[] = { 8,2,3,9,6,4,7,1,5,10 };
	shell_sort(arr, 10);
	system("pause");
	return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63

运行结果：

4. 希尔排序思路，希尔排序代码，参考文章1，常见的几种排序（C++）
5. 优秀博文：十大经典排序算法-希尔排序算法详解