18.Raising and Lower Indexs

提高和降低张量索引

同样，使用的是非标准的符号。

我们对V和熟悉，一个是向量所在的空间，一个是协向量所在的 对偶空间 ， 
有一个问题：
有何办法能在V的向量与 的协向量之间 建立对应的关系？
换句话说， 有何方法可以让我们在V中获取一个向量 并在 中找到它的“伙伴”(partner)？

首先尝试的方法是利用基底，（但是该方法不行）

会存在问题。

原因： 考虑改变基底的情况， 

问题在于，虽然基向量是协变的，
所以当我们从旧基转到新基时，
我们使用正向变换来变换基向量，
而基协向量是逆变的，
因此，
从新基 转换到旧基 ， 
使用的是反向变换来转，

这个系数匹配就不好，不是相同的。

尝试方法2：

用一个向量v点乘另一个向量，  得到一个协向量？？？？？
v·v   = 协向量？ 两向量点乘是把对应位置的分量相乘再求和， 得到一个实数， 实数怎么是协向量(长得跟行向量一样)？？

事实证明，确实是

首先，若横线是输入向量，毫无疑问是输出数，那就是一个从V到R的函数。

但是的成员不能只是从向量到标量的任何旧函数，  它们还必须是线性的，
所以，需要利用点积的性质，证明该函数是线性的，。

上图左侧就证明了 __  是线性的， 这意味着 它确实是 的成员 ， 所以 __ 真的是个协向量。
？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？不明所以

难道是： 协向量是像个行向量一样， 协向量 ·  向量  = 实数， 且服从缩放、加法规则。

上图左侧是  协向量的使用，  右侧是 __  的使用，  它们在使用上是一样的。

原来使用基底的方法，  无法实现变化时只改变向量或协向量， 系数的变换不一致；

而新方法，其变化时， 系数的变化是一致的。向量及其协向量伙伴将始终以相同的量增大或缩小。

既然有这种归属关系，那么我们就能将该协向量 用对偶基的线性组合来表示。

x究竟是多少？？？？

要弄清楚x，
回顾之前的内容：
v·w是通过向量 传递给 度量张量“g” 来给出的。

（因为度量张量g是对称的，所以那个计算顺序无所谓）

对__ 作相同的事，

于是，我们就知道如何获取协向量__ 的分量，
因此，作为一种替代表示法，
不将“g”与下标 j 写一起，*********就是如图：
 
就是这两边相等，可以选择其中一种表达式。

总而言之，向量V可以写为： 

它的伙伴协向量__可以写为：

vivi与vjvj之间的转换方式是对度量张量进行求和：     、         

需要注意的一点是：

只有在极其特殊的情况下，vi与vi 才会相等  。  上标跟下标的意义是不同的。

上面我们找到了从向量V找到其对应的伙伴协向量V*的方法，

如果我们要反过来呢？ 怎么找？

从左往右可以通过度量张量g ，  而 从右往左呢？

我们现在对度量张量定义其 逆。

对上面的所有 式子进行归总：

升高、降低索引的操作  就是 指 将变量的上下标之间的转化， 
对于 ， 就是利用度量张量(协变度量张量，因其分量是协变的)，将vj 变为了 vi  ，也就是降低索引操作。

对于 ， 就是利用逆度量张量(逆变度量张量， 因其分量是逆变的)，将vj变为了vi ， 也就是升高索引操作。

这种升高和降低操作不仅适用于向量和协向量分量，也可升高和降低其他张量分量的索引，

以下面张量Q为例：

事实证明，可在任何的张量分量上进行降低和升高索引操作，

向量的对应伙伴 协向量除了__这种表示方法 ， 还有其他的表示方法， 
 

最后总结：

就那么