AM@连续函数相关概念和运算性质

abstract

• 连续函数相关概念和运算性质

相关概念

最值👺

• 我们将最小值和最大值定义合起来写

• 在区间$I$上有定义的函数$f(x)$,若$x_0\in I$,使得$\forall x\in I$,都有$f(x)⩽M=f(x_0)$($f(x)⩾m=f(x_0)$),则$f(x_0)$是函数$f(x)$在区间$I$上的最大值(最小值)

无最值的情况

• 函数在区间内有最值的不充分条件

  1. 函数在开区间内连续
  2. 或在闭区间上有间断点(说明函数可能无界,即使有界也不一定有最值)

• 区间内有界是有最值的必要不充分条件

• 区间内连续是不必要条件

• 例$\tan x$在$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$上虽然连续,但是其无界,所以无最值;

• 例:分段函数

  • $f(x)$

    • =$-x+1,x\in [0,1)$;
    • =$1,x=1$,
    • =$-x+3,x\in (1,2]$

  • $f(x)$在闭区间$[0,2]$上虽然有界但是出现孤立点($x=1$处左连续和右连续都不成立)

  • $M=2$是$f(x)$的一个上界,但是$f(x)$是取不到这个上界值,只能说$f(x)\to 2(x\to 1)$,也就是没有一个确定的具体的自变量取值$x_M$能够使$f(x_M)=2$成立;$m=0$也是类似的

零点

• 若$f(x_0)=0$则$x_0$称为$f(x)$的零点
  • 零点是自变量的一个取值,而不是一个坐标点
  • 是$f(x)$图形和$x$轴的交点的横坐标($x$轴分量)

连续函数的性质

连续函数的四则运算

• 若$u(x),v(x)$都在$x=x_0$处连续,则两函数经过四则运算后的$f(x)$在$x=x_0$处也连续
  • 对于除法运算,要求分母不为0

复合函数极限关系定理

• 设$y=f(g(x))$是由$u=g(x)$,$y=f(u)$复合而成的,$\mathring{U}(x_0)\subset D_{f\circ g}$,若$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0$,而$y=f(u)$在$u=u_0$连续,则$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))$=$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)$=$f(u_0)$
  • 本定理和复合函数的极限运算法则相近,区别在于连续的条件下
    • 极限改为值$f(u_0)$,($f(u)$在$u_0$处因连续而有定义)
    • 且取消了$g(x)\ne u_0$的条件

函数符号和极限号交换次序

• 由上述定理进一步推导有:由于$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0$,$\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)$=$f(u_0)$,所以$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))$=$f(\underset{x\to x_0}{\lim }g(x))$

复合函数的连续性👺

• 设函数$f(u)$在$u=u_0$处连续(1),$u=g(x)$在$x=x_0$处连续(2),且$g(x_0)=u_0$(3),则复合函数$f(g(x))$在$x=x_0$处也连续

• 由连续和极限的关系可知,该定理表明$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))$=$f(g(x_0))$

• 证明:

  • 由上述关系定理中增加条件(2),可令$u_0=g(x_0)$,这就表示$g(x)$在$x_0$也连续,从而$\underset{u\to u_0}{\lim }f(g(x))$=$f(u_0)$=$f(g(x_0))$
  • 从而$f(g(x))$也在$x_0$处连续

基本初等函数的连续性

• 基本初等函数在其定义域上是连续的

推论

• 初等函数在其定义域上都是连续的

反函数的连续性👺

• 设$y=f(x)$在某个区间上连续且单调,则其反函数$y=f^{-1}(x)$在对应区间上同样连续单调,且单调性和$y=f(x)$相同的单调性

• 更具体地:设$y=f(x)$在某个区间$I_x$上连续且单调,则其反函数$y=f^{-1}(x)$在对应区间 I y = R f = {   y ∣ y = f ( x ) , x ∈ I x   } I_{y}=R_f=\set{y|y=f(x),x\in{I_{x}}} Iy​=Rf​={y∣y=f(x),x∈Ix​}上同样连续单调,且单调性和$y=f(x)$相同的单调性

• 例如:$y=e^x$和$y=\ln x$分别在$(-\infty ,+\infty )$和$(0,+\infty )$上单调增加且连续

  • $y=\sin x$在$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$上单调增加且连续,则$y=\arcsin x$在$[-1,1]$上同样单调增加且连续

• 某些函数的反函数比较隐蔽,可以通过这个定理来确定反函数的单调性和连续性