• 最小生成树笔记


    • 生成树:删去一些边,使图变成树。

      对于 n n n 个点的图,生成树有 n − 1 n-1 n1 条边。

    • 最小生成树:所有生成树中边权最小的。

    • 对于一个图,不存在最大/最小生成树的条件是并查集里面没有 n n n 个点,即总边数 < n − 1 <n1

    • 如果一个图存在唯一最小生成树,需要满足对于所有非最小生成树中的边,对于起点和终点 u u u v v v,边 u → v u\rightarrow v uv 的边权大于 u u u v v v 在最小生成树上的最短距离的最大边权。

    最小生成树算法

    Prim

    不会。堆优化后时间复杂度为 O ( m log ⁡ n ) O(m\log n) O(mlogn)

    Kruskal
    1. 将所有边按边权升序排列。
    2. 依次考虑所有边,如果边的两端在不同连通块内,将该边加入生成树,合并连通块。
    • 用并查集维护连通块关系。

    时间复杂度为 O ( m log ⁡ m ) O(m\log m) O(mlogm)

    for(int i=1;i<=m&&cnt<n-1;i++)
    {
        int x=e[i].from,y=e[i].to,z=e[i].w;
        int u=find(x),v=find(y);
        if(u==v) continue;
        fa[u]=v;cnt++;
        add(x,y,z);add(y,x,z);
    }
    
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    练手板子题

    代码如下:

    #include 
    using namespace std;
    
    int to[500000],v[500000],father[500000],nxt[500000],cnt,head[500000],uu,vv,ans,M,N;
    
    int find(int x)
    {
    	if(father[x]!=x) father[x]=find(father[x]);
    	return father[x];
    }
    
    struct node
    {
    	int to,from,v;
    }gg[500000];
    
    bool cmp(node a,node b)
    {
    	return a.v<b.v;
    }
    
    int main()
    {
    	cin>>N>>M;
    	int sum;
    	for(int i=1;i<=N;i++) father[i]=i;
    	for(int i=1;i<=M;i++) cin>>gg[i].from>>gg[i].to>>gg[i].v;
    	sort(gg+1,gg+1+M,cmp);
    	for(int i=1;i<=N;i++) father[i]=i;
    	for(int i=1;i<=M&&cnt<N-1;i++)
    	{
    		int uu=find(gg[i].from),vv=find(gg[i].to);
    		if(uu!=vv)
    		{
    			sum+=gg[i].v;
    			father[uu]=vv;
    			cnt++;
    		}
    	}
    	if(cnt!=N-1)
    		cout<<"orz";
    	else
    		cout<<sum;
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://blog.csdn.net/ncwzdlsd/article/details/133969893