14.Tensor Product：Covector-Covector Pairs

该文张量积仍使用一些非标准的符号。

左边的将是本文使用的 ， 右边的是标准。

Covector-Covector Pairs 是Bilinear Forms

在上一节中，
Linear Maps = linear combinations of vector-covector pairs

这种将向量和协向量组合在一起的过程叫  张量积

这给我们带来了诸多好处。
好处1：不必再记住线性映射的转换规则，

好处2：当有一个线性映射作用于一个向量时，可以很自由地得到正确的矩阵向量分量

好处3：如将张量视为数组，张量积将自动为我们提供正确的数组形状。

图中左侧是我们用列向量*行向量所获得的；
图中右侧， 我们是使用了另一种方法获得相同的结果，

使用的那个符号是  循环时间符号， 这个圆形时间符号 告诉 我们要做的是 ： 获取左侧的数组，并将其分配给右侧数组的每一个组件。
所以这个分配，意味着我们在左侧获得这个列向量，并将它的一个副本提供给右侧那个数组的每一个元素。，

这种思维告诉我们  线性映射是 多行列。

以上是在线性映射的视角变化 如何给我们带来好处的总结。

现在，对双线性形式Bilinear Forms(include metric tensor) 的视角进行类似的变换，

为什么选择的是 covector-covector pairs ， 而不是covector-vector 等其他的呢？

因： 双线性形式需要两个向量输入，由于协向量每个接受一个向量输入，因此一对协向量将接受两个向量输入。

好处1：

 好处2：

好处3：对数组形状，

对线性映射，对下图左侧的列向量和右侧的行向量进行循环时间运算，但对于双线性形式，由于我们处理的是协向量-协向量对，我们将使用两个行向量代替，再次的，将左边的数组分配给右边数组的每个元素，最终我们得到的是一行行(a row of rows)

 

这似乎并不正确，

回顾之前的视频，关于这样的数组乘法， 其中这个双线性形式或度量张量是一个矩阵。 
那么，上面为什么得到的是一行行(a row of rows)呢?

一行行实际上更有意义，

这里有个公式，即使有两个向量输入，也需将一个写成列，一个写成翻转的行，以使乘法工作能正常运行。

当我们将双线性形式写成一行时，

矩阵乘法公式就更有意义了，我们可将两个向量都写成列，

总结：