向量空间-向量基、坐标转换

1. 基：
   设 $V$ 是向量空间，若 $V$ 中有 r 个向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ 满足：1）线性无关；2）$V$ 中任意向量均可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ 线性表示，
   则称向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ 是 r 维向量空间 $V$ 的一个基，r 为向量空间 $V$ 的维数，并称 $V$ 为r维向量空间
2. 坐标：
   若 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ 是 r 维向量空间 $V$ 的一个基，则 $V$ 中任一向量 $\xi$ 都可由这个基唯一地线性表示：
   $$\xi =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+...+x_r{\alpha }_r$$
   称有序数组 $x_1,x_2,...,x_r$ 为向量 $\xi$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_r$ 下的坐标
3. 过渡矩阵
   设 $V$ 的两个基 ${\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n$ 和 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$，若
   $$[{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n]=[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n]C$$
   则称 $C$ 为由基 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n$ 到基 ${\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n$ 的过渡矩阵
4. 坐标变换
   $$\alpha =[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n]x=[{\eta }_1,{\eta }_2,...,{\eta }_n]y=[{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n]Cy$$
   其中 $x=Cy$ 称为坐标变换公式