近世代数之群

群

群的第一定义：一个不空集合G对于一个乘法的代数运算来说作为一个群，假如：

1. G对于乘法来说是封闭的。
2. 结合律成立：对于G的任意三个元$a,b,b$满足$a(bc)=(ab)c$。
3. 对于G中任意两个元$a,b$来说，方程$ax=b$和$ya=b$都在G中有解。

举例：G是全体整数的集合，G对于普通加法来说是一个群。
证明：

• 两个整数相加还是一个整数。
• $a+(b+c)=(a+b)+c$
• $a,b$是整数的时候，$a+x=b,y+a=b$均有整数解。

举例：G是所有不等于零的整数的集合，G对于所有普通乘法来说不作为一个群。
证明：1,2均满足，不满足3，例如2x=3的解为3/2，不是整数。
群的性质：假设G是一个群，具有以下性质：

• G中至少存在一个元e，叫做G的一个左单位元，对于G中的任意元$a$满足$ea=a$。
  证明：
  对于固定的元b，$yb=b$在G中有解。我们任意取一个解，叫做e，即$eb=b$.
  假设对于$bx=a$有解$c$：$bc=a$
  则$ea=e(bc)=(eb)c=bc=a$，因此对于任意一个元素$a\in G$，均满足$ea=a$。得证。

• 对于G中每一个元a，在G中至少存在一个元$a^{-1}$叫做$a$的一个左逆元满足$a^{-1}a=e$成立。这里$e$为一个固定的左单位元。

群的第二定义：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说是一个群，假如：

• G对于乘法来说是封闭的。
• 结合律成立：对于G的任意三个元$a,b,b$满足$a(bc)=(ab)c$。
• G中至少存在一个左单位元e，对于G中任何元$a$满足$ea=a$。
• 对于G中每一个元$a$，在G中至少存在一个左逆元$a^{-1}$，满足$a^{-1}a=e$。

推导：

• 一个左逆元一定也是一个右逆元：由$a^{-1}a=e$可得$a{a}^{-1}=e$
• 一个左单位元一定也是一个右单位元。由$ea=a$可得$ae=a$

一个群叫做有限群，假如这个群的元的个数是一个有限整数；否则这个群叫做无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
交换群：一个群叫做交换群，假如$ab=ba$，对于G中任何两个元$a,b$都成立。
群的性质：单位元，逆元

• 定理1：在一个群G中存在一个并且只存在一个元$e$，对于G中任意元$a$，能使$ea=ae=a$成立。
• 定理2：对于群G的每一个元$a$来说，在G中存在一个而且只存在一个元$a^{-1}$，能使$a^{-1}a=a{a}^{-1}=e$。我们称$a^{-1}$叫做元$a$的逆元（简称为逆）。
  阶：我们看群G的一个元$a$，能够使$a^m=e$的最小的正整数$m$叫做$a$的阶。若是这样的一个$m$不存在，我们说$a$是无限阶的。

消去律： 4. 一个群的乘法适合消去律：若$ax=a{x}^{\prime }$，那么$x=x^{\prime }$；若$ya=y^{\prime }a$，那么$y=y^{\prime }$。
推论：在一个群里面，方程$ax=b,ya=b$各有一个唯一的解。

有限群另一定义：一个有乘法的有限不空集合G作为一个群，假如1,2,4能被满足。
注：关于123与124的关系问题，满足123一定满足124，满足124不一定满足123，比如对于普通乘法来说，集合G={所有不等于0的整数}满足124，但是不满足123。如果G是一个有限集合时，123与124就是等价关系了。

群的同态
定理1：假定G与$\bar{G}$对于它们的乘法来说同态，那个$\bar{G}$也是一个群。
定理2: 假定G与$\bar{G}$是两个群，在G到$\bar{G}$的一个同态满射之下，G的单位元$e$的象是$\bar{G}$的单位元，G的元a的逆元$a^{-1}$的象是a的象的逆元。
注：$e\to \bar{e}$,$a^{-1}\to \overline{a^{-1}}$
在G与$\bar{G}$间的一个同构映射下，两个单位元相互对应，互相对应的元的逆元也互相对应。

群的同构：设G,G’是群。如果存在G到G’的双射$\sigma$满足$\sigma (xy)=\sigma (x)\sigma (y),\forall xy\in G$，则称$\sigma$是同态映射，记为$G\cong G^{\prime }$。
注：同构值得是有相同的结构。同构关系是等价关系，记满足：自反性、对称性、传递性。

凯莱定理：任意群都同构于一个变换群。

变换群
A的一个变换，就是一个A到A自己的映射，变换$\tau$:$a\to a^{\prime }=\tau (a)$。为了方便起见，对于变换这一特殊的映射，用了一种特殊的符号来说明：$\tau$:$a\to a^{\prime }=a^{\tau }$.
全变换群：集合M到自身的所有双射全体，对于映射的复合构成群，称为M的全变换群，记为$S_M$.
特例：若M为n元集合，M的双射称为n元置换。$S_M$称为n元对称群，简记为$S_n$。
对于一个乘法来说,$S$有一个单位元，就是A的恒等变换$\epsilon$:$a\to a$
定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换$\epsilon$。若是对于上述乘法来说G作为一个群，那我G只包含A的一一变换。

补充
半群：设$G\ne \oslash$,$G$上有代数运算，若运算满足结合律，即对于$\forall a,b,c\in G$满足$a(bc)=(ab)c$，则称$(G,\circ )$或者G称为半群。

在半群的基础上，满足群中存在单位元以及逆元，则称为群。
Abel群：假设G是群，如果对于任意的$a,b\in G$，有$ab=ba$，则称G是可换群，或者Abel群。
群的性质：
1、方程可解性：设G是群，$a,b\in G$，则方程$ax=b$,$ya=b$的解存在且唯一。
2、方幂运算：由于群的乘法满足结合律，可记：$a^n=\underbrace{a...a}$，则$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$，$(a^{-1}{)}^n=a^{-n}$。

子群：设G是群，$\oslash \ne H\subset G$。若$H$关于$G$的运算也构成群，则称H是G的子群，记为$H\le G$。
注：1、子群关于群运算满足封闭性
2、子群的交集还是子群，但是子群的并集不是子群。
举例：设G是群，e是其单位元，则G，{e}为G的子群，称为平凡子群。
定理：设G是群，$\oslash \ne H\subset G$，则$H$是子群的充分必要条件是由$a,b\in H$，推出$a{b}^{-1}\in H$。

陪集：设H是群G的子集，若$\forall a\in G$，记 a H = { a h : h ∈ G } , H a = { h a : h ∈ G } aH=\left \{ ah:h\in G \right \},Ha=\left \{ha:h\in G \right \} aH={ah:h∈G},Ha={ha:h∈G}。分别称为H在G中的左陪集与右陪集。一般的$aH\ne Ha$

正规子群：设H是群G的子群，若$\forall a\in G$，$aH=Ha$，则称H是G的正规子群。记作$H⊲G$。此时$G/H$构成群，称为商群。