堆-----数据结构

引言

什么是堆？堆是一种特殊的数据结构（用数组表示的树）。

为什么要使用到堆？比如一场比赛，如果使用擂台赛的方式来决出冠军（实力第一），就很难知道实力第二的队伍是什么了。

但是下图能很清楚的表示各队伍的强弱关系。

堆的特点

上图就是一个最大堆，解释：每一个圆都是一个节点，数字代表着键值，其中95是93和92的父节点，93和92是95的子节点，93和92是兄弟节点（父节点为同一个），根节点就是键值最大的节点，为95，最后一个节点是87，最后一个左子节点也是87。

最大堆的特点：

满足以下三点

1.每个节点最多可以有两个子节点。

2.根节点的键值是所有堆节点键值中最大者，且每个节点的值都大于其子（孩子）节点。

3.除了根节点没有兄弟节点，最后一个左子节点可以没有兄弟节点，其他节点必须有兄弟节点。

最好是自己理解，不用强记 。其中有一点要注意：A的兄弟节点的子节点可能大于A，相当于在比赛中，其中一个小组都是弱队，那么一个弱队却可以闯入半决赛一样。

最小堆的特点的话就将第二点中的大改为小就可以了，其他的特点一样。这里讨论的是最大堆

数组形式表示

父节点和子节点的关系：

i 的左子节点：2i+1 ，右子节点：2i+2

i 的父节点：（i-1）/2

i 是从 0 开始的

再将上图的堆转换为数组的形式，如下图：

 这就是一个最大堆的数组表示形式。

在数组中快速创建堆

也就是怎么把任意一个数组变成最大/小堆。

我们先把堆的最小单位拿出来，如下图：

他不是一个最大堆，如果要变成最大堆，只需要父节点是95，子节点分别是86、88就可以了（86和95交换）。而一个最大堆是由若干个这个最小单位组成的，所以第一步就是将所有的堆的最小单位变成最大堆。

1、首先先找到最后一个节点的父节点，找出该节点的最大子节点与自己比较，如果大于自身，就交换两个节点。

2、继续移动到上一个父节点（也就是下标 -1 的地方），重复做第一步的比较操作，直到遍历所有的父节点。

当我们移动完所有的父节点，那最大堆就形成了吗？还疏忽了一个地方。例如当移动到某个父节点时，如下图：

最开始父节点是88，与子节点95交换了，那父节点就是95，95 的子节点就是 88，那88一定大于他的子节点吗？很显然这个答案是不一定，因为 88 的子节点只满足小于之前的父节点 95，所以还需要向下调整，直到子节点都小于父节点。

3、对每次移动中，变成子节点的节点，向下调整，也就是判断他与子节点是否满足最大堆的特点，不满足还要继续移动节点（向下调整），满足的话就接着下个父节点。

4、所有的节点交换完毕，最大堆构建完成。

堆的算法实现

堆数据结构的定义

#define DEFAULT_CAPCITY 120 //默认的堆容量
 
typedef struct _Heap
{
	int* arr;		//存储堆元素的数组
	int size;		//堆中元素的个数
	int capcity;	//堆的容量
}Heap;
 
//函数声明
void buildHeap(Heap& heap);
bool inset(Heap& heap, int value);
bool initHeap(Heap& heap, int* orginal, int size);
void adjustDown(Heap& heap, int i);
void adjustUp(Heap& heap, int i);

堆的初始化 

bool initHeap(Heap& heap,int *orginal,int size) 
{
    //orginal 是指向数组的指针，而这个数组是我们要传入堆的数组
 
	int capcity = DEFAULT_CAPCITY > size ? DEFAULT_CAPCITY : size; //取size和默认容量的最大值
	
	heap.arr = new int[capcity];
	if (!heap.arr) return false; //申请失败
 
	heap.capcity = capcity;
 
	if (size > 0) //size合法
	{
		memcpy(heap.arr, orginal, sizeof(int) * size);
		heap.size = size;
		//建堆
		buildHeap(heap);
	}
 
	return true;
}

堆的创建

//建堆，从最后一个父节点逐个向前调整所有的父节点（直到根节点），确保每一个父节点都是一个最大堆
//那么，整体上就是一个最大堆
void buildHeap(Heap& heap)
{
	int i = (heap.size - 2) / 2; //因为下标从0开始，heap.size-1就得到下标，再结合公式就是这个式子
 
	for (; i >= 0; i--)
	{
		adjustDown(heap, i); //向下调整包含了构建最大堆，如果感到困惑，先看向下调整函数
	}
}

堆的向下调整函数

void adjustDown(Heap& heap, int i)
{
	int temp = heap.arr[i]; //保存父节点的键值
	int parent = 0 ,child = 0;
 
	for (parent = i; (2 * parent + 1) < heap.size; parent = child) 
	{
		child = 2 * parent + 1; //先指向左子节点
		
		//指向两个子节点中最大的节点
		if (child + 1 < heap.size && heap.arr[child] < heap.arr[child + 1])
		{
			child = child + 1;
		}
        
		if (temp >= heap.arr[child])
		{
			break; //无需向下调整
		}
		else
		{
			heap.arr[parent] = heap.arr[child];
			heap.arr[child] = temp;
		}
		
	}
}

堆的插入新元素

1、插入新的元素到最大堆的尾部，也就是数组的后面

2、插入的元素可能会破环这个最大堆，需要重新调整，和父节点比较，如果比父节点大，就交换两个节点……重复直到新节点比父节点小或者新节点变为根节点（调整到位）。

设计两个函数，一个是插入，一个是向上调整。

bool insert(Heap& heap, int value)
{
	if (heap.size == heap.capcity) //堆空间不足
	{
		return false;
	}
 
	int i = heap.size ; //指向新加元素的下标
	heap.arr[heap.size++] = value;
	adjustUp(heap , i);
	return true;
}

void adjustUp(Heap& heap, int i)
{
	if (i <= 0 || i >= heap.size) return;
 
	while (i > 0)
	{
		int parent = (i - 1) / 2;
		if (parent >= 0) // 父节点没越界
		{
			if (heap.arr[parent] < heap.arr[i])
			{
				int temp = heap.arr[i];
				heap.arr[i] = heap.arr[parent];
				heap.arr[parent] = temp;
				i = parent;
			}
			else
			{
				break; //无需调整
			}
		}
		else
		{
			break; //父节点出界
		}
	}
}

看到这，你会发现堆的创建还有一种方式，也就是将数组的元素一个一个插入，也能得到最大堆。

源代码

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
 
 
 
#define DEFAULT_CAPCITY 120 //默认的堆容量
 
typedef struct _Heap
{
	int* arr;		//存储堆元素的数组
	int size;		//堆中元素的个数
	int capcity;	//堆的容量
}Heap;
 
void buildHeap(Heap& heap);
bool insert(Heap& heap, int value);
bool initHeap(Heap& heap, int* orginal, int size);
void adjustDown(Heap& heap, int i);
void adjustUp(Heap& heap, int i);
 
//初始化堆
bool initHeap(Heap& heap,int *orginal,int size) 
{
    //orginal 是指向数组的指针，而这个数组是我们要传入堆的数据
 
	int capcity = DEFAULT_CAPCITY > size ? DEFAULT_CAPCITY : size; //取size和默认容量的最大值
	
	heap.arr = new int[capcity];
	if (!heap.arr) return false;
 
	heap.capcity = capcity;
 
	if (size > 0)
	{
		memcpy(heap.arr, orginal, sizeof(int) * size);
		heap.size = size;
		//建堆
		buildHeap(heap);
	}
 
	return true;
}
 
//建堆，从最后一个父节点逐个向前调整所有的父节点（直到根节点），确保每一个父节点都是一个最大堆
//那么，整体上就是一个最大堆
void buildHeap(Heap& heap)
{
	int i = (heap.size - 2) / 2; //因为下标从0开始，heap.size-1就得到下标
 
	for (; i >= 0; i--)
	{
		adjustDown(heap, i);
	}
}
 
void adjustDown(Heap& heap, int i)
{
	int temp = heap.arr[i]; //父节点的键值
	int parent = 0 ,child = 0;
 
	for (parent = i; (2 * parent + 1) < heap.size; parent = child)
	{
		child = 2 * parent + 1;
		
		//指向两个子节点中最大的节点
		if (child + 1 < heap.size && heap.arr[child] < heap.arr[child + 1])
		{
			child = child + 1;
		}
 
		if (temp >= heap.arr[child])
		{
			break; //无需向下调整
		}
		else
		{
			heap.arr[parent] = heap.arr[child];
			heap.arr[child] = temp;
		}
		
	}
}
 
//堆——插入新元素
bool insert(Heap& heap, int value)
{
	if (heap.size == heap.capcity)
	{
		return false;
	}
 
	int i = heap.size ;
	heap.arr[heap.size++] = value;
	adjustUp(heap , i);
	return true;
}
 
void adjustUp(Heap& heap, int i)
{
	if (i <= 0 || i >= heap.size) return;
 
	while (i > 0)
	{
		int parent = (i - 1) / 2;
		if (parent >= 0) // 父节点没越界
		{
			if (heap.arr[parent] < heap.arr[i])
			{
				int temp = heap.arr[i];
				heap.arr[i] = heap.arr[parent];
				heap.arr[parent] = temp;
				i = parent;
			}
			else
			{
				break; //无需调整
			}
		}
		else
		{
			break; //父节点出界
		}
	}
}
int main(void)
{
	Heap heap;
	int orginalArr[] = { 1,2,3,87,93,82,92,86,95 };
 
	if (!initHeap(heap, orginalArr, sizeof(orginalArr) / sizeof(int)))
	{
		cout << "初始化堆失败！" << endl;
		exit(-1);
	}
 
	for (int i = 0; i < heap.size; i++)
	{
		printf("%d\n",heap.arr[i]);
	}
	puts("");
	insert(heap, 100);
	for (int i = 0; i < heap.size; i++)
	{
		printf("%d\n", heap.arr[i]);
	}
	return 0;
}