import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
简单的线性回归就是使用一根直线去拟合一种趋势。
例如:我们有一批房屋面积与房价的数据。将其作成散点图如下:
X = [100, 110, 120, 130, 140] # 房屋面积(m^2)
y = [100 * 1, 110 * 1.05, 120 * 1.1, 130 * 0.95, 140 * 0.9] # 房价(万元)
plt.scatter(X, y, c='red')
plt.ylim(80, 160)
plt.xlim(80, 160)
plt.show()
此时,我们通过观察图像,可以假设房屋面积与房价是呈一种线性关系的。也就是: 房价 = a ∗ 房屋面积 + b 房价=a * 房屋面积 + b 房价=a∗房屋面积+b 。但我们并不知道 a a a 和 b b b 的值。
线性回归的目标就是求出这条直线,也就是 a a a, b b b 的值。
通过我上面的数据可以很容易看出,它们的线性关系为: 房价 = 1 ∗ 房价 + 0 房价 = 1 * 房价 + 0 房价=1∗房价+0。即 a = 1 , b = 0 a=1, b=0 a=1,b=0
plt.ylim(80, 160)
plt.xlim(80, 160)
plt.scatter(X, y, c='red')
plt.plot(np.arange(80, 160), np.arange(80, 160) * 1 + 0, c='green')
plt.show()
接下来,需要使用sklearn去实现这条直线的计算。
sklearn进行线性回归使用的是sklearn.linear_model
,只需要给出上面的X和y即可自动进行数据拟合。
首先定义模型:
from sklearn import linear_model
model = linear_model.LinearRegression()
之后构造数据集:
需要有X和Y,其中X的维度必须是(样本数, 特征数)
。
在该例子中,我们有5条数据,一个面积的特征。因此需要将X的维度处理成(5, 1)
而Y因为是一个具体的值,因此其维度必须是(样本数,)
在上面定义X,y时,y已经满足了维度。而X维度为(样本数, )
,因此需要对其进行转换。
X = np.array(X).reshape(-1, 1) # -1表示自动计算维度,因此效果等同于`.reshape(5, 1)`
model.fit(X, y) # 训练模型
LinearRegression()
模型训练后,即可使用predict
方法进行预测:
print(model.predict(X))
[107.4 113.4 119.4 125.4 131.4]
现在我们将训练好的进行绘制
X_ = np.arange(80, 160).reshape(-1, 1)
y_ = model.predict(X_)
plt.scatter(X, y, c='red')
plt.plot(X_, y_, c='blue')
plt.show()
可以看到,我们训练出的模型和预测的模型还是有一定的差距的。这是因为我们的样本太少,导致无法拟合出真实的模型。
coef_
参数和intercept_
参数上面我们训练好了模型。如果我们想要用数学表达式的方式写出来,可以通过查看模型的coef_
和intercept_
参数。
上面我们说过,X的特征只有一个。因此我们的线性回归模型的基础假设就是 y=f(x)=ax+b
。因此,线性回归过程就是求a
,b
两个值。
我们可以通过coef_
参数查看a
的值,通过intercept_
查看b的值
a = model.coef_[0]
b = model.intercept_
print("a =", model.coef_)
print("b =", model.intercept_)
a = [0.6]
b = 47.39999999999998
上面可以看到model.coef_
返回的是一个数组,这是因为实际应用中,我们不止有一个特征,因此是一个数组。
下面我们尝试使用公式的方式去计算y,并进行绘制。
X_ = np.arange(80, 160).reshape(-1, 1)
y_ = a * X_ + b
plt.scatter(X, y, c='red')
plt.plot(X_, y_, c='blue')
plt.show()
可以看到,我们使用ax+b
的计算方式得到了同样的结果。
在实际应用中,并不是所有的数据都是线性关系。数据可能会呈现出二次或三次曲线。例如,我们先构造出一个符合三次曲线的样本
X = np.sort(np.random.uniform(-3, 3, size=100)) # 定义100个X
y_true = -0.5 * (X ** 3) + 0.8 * (X ** 2) + 1 * (X ** 1) + 10 # 真实的y值
y_label = y_true + np.random.normal(-1, 1, size=100) # y的标签值,含噪音
plt.scatter(X, y_label, c='red')
plt.plot(X, y_true, c='green')
plt.show()
对于该样本,我们需要假设样本符合三次曲线,也就是: f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d f(x) = ax^3+bx^2+cx+d f(x)=ax3+bx2+cx+d
也就是我们线性回归的目标是求出a,b,c,d
然而,sklearn.linear_model
本身并不直接支持
x
n
x^n
xn次方,但是我们可以利用它支持多个特征的特性来完成三次曲线的拟合。
sklearn.linear_model
支持多个特征。因此我们假设的模型函数为:
f
(
x
3
,
x
2
,
x
1
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
1
+
d
f(x_3, x_2, x_1) = a x_3 + bx_2 + cx_1 + d
f(x3,x2,x1)=ax3+bx2+cx1+d
其中该模型具有三个特征
x
3
,
x
2
,
x
1
x_3, x_2, x_1
x3,x2,x1。而实际我们只有一个特征
x
x
x,因此我们需要利用
x
x
x构造出三个特征,即:
x
3
=
x
3
x
2
=
x
2
x
1
=
x
通过这种方式,我们就巧妙利用linear_model
多特征特性,解决了一个特征的多元线性回归。
sklearn提供了帮你构造
x
3
,
x
2
,
x
1
x_3,x_2,x_1
x3,x2,x1的方法sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures
。
我们先来尝试一下:
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
X_temp = np.arange(0, 3).reshape(-1, 1)
X_ = PolynomialFeatures(degree=3).fit_transform(X_temp)
print("X_temp:", X_temp.reshape(-1))
print("\nX_:\n", X_)
X_temp: [0 1 2]
X_:
[[1. 0. 0. 0.]
[1. 1. 1. 1.]
[1. 2. 4. 8.]]
上面的例子中,我们使用PolynomialFeatures(degree=3)
对X_temp
进行了处理。
其中X_temp
是我们的输入,一共有3个样本[0, 1, 2]
,每个样本有1个特征。经过PolynomialFeatures(degree=3).fit_transform(X_temp)
处理后,我们得到了新的输入X_
X_
同样是3个样本,但每个样本有4(3+1)个特征,通过观察很容易发现。这4个特征与原始的1个特征的关系为:
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
x^0, x^1, x^2, x^3
x0,x1,x2,x3。
实际我们在使用时,其实不需要
x
0
x^0
x0,因为linear_model
中的intercept_
已经具备了
x
0
x^0
x0的功能,所以我们可以使用PolynomialFeatures(degree=3, include_bias=False)
中的include_bias=False
来去掉
x
0
x^0
x0
接下来我们对一开始的X进行一下处理:
X_p = PolynomialFeatures(degree=3, include_bias=False).fit_transform(X.reshape(-1, 1))
对输入X处理后,接下来的线性回归过程和一元线性回归就没什么区别了:
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(X_p, y_label)
LinearRegression()
我们再来看下coef_
和intercept_
print("model.coef_:", model.coef_)
print("model.intercept_:", model.intercept_)
model.coef_: [ 0.91962613 0.76846728 -0.49995355]
model.intercept_: 9.211345527598573
这次model.coef_
一共有3个数值,分别对应
x
1
,
x
2
,
x
3
x^1, x^2, x^3
x1,x2,x3前面的系数。
我们先用模型的方式绘制一下预测结果:
plt.scatter(X, y_label, c='red')
plt.plot(X, model.predict(X_p), c='green')
plt.show()
接下来我们再用公式的方式将结果绘制一下,公式为:y=ax+bx^2+cx^3+d
a = model.coef_[0]
b = model.coef_[1]
c = model.coef_[2]
d = model.intercept_
y_predict = a * X + b * X**2 + c * X**3 + d
plt.scatter(X, y_label, c='red')
plt.plot(X, y_predict, c='green')
plt.show()
可以看到结果一致与模型结果一致
一元线性回归:
model.linear_model
的LinearRegression()
方法(样本数, 1)
的维度model.fit(X, y)
进行模型拟合model.coef_
存储的是
x
x
x前面的系数,model.intercept_
存储的是截距多元线性回归:
PolynomialFeatures
对X进行处理,它会将X转化为多个特征,分别对应
x
0
,
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x^0, x^1, x^2, ...
x0,x1,x2,...PolynomialFeatures
的include_bias=False
参数可以去掉
x
0
x^0
x0。建议使用model.coef_
存储了多个系数,分别为
x
0
,
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x^0, x^1, x^2, ...
x0,x1,x2,...前面的系数。model.intercept_
存储的是截距