【贝叶斯分析】计算机科学专业博士作业一

1、 1964 年，一对跨种族夫妇在洛杉矶被判抢劫罪，主要是因为他们的个人资料符合极不可能的情况，而这一资料与目击者的报告相符。据目击者所述，这两名劫匪是：
男人留着小胡子 、男人是黑人 、女人绑着马尾 、女人是金发
已知信息如下：
F1：P(男人留着小胡子 | 有罪) = 1/4
F2：P(男人是黑人且有胡子 | 有罪) = 1/10
F3：P(女人绑着马尾 | 有罪) = 1/10
F4：P(女人是金发 | 有罪) = 1/3
F5：P(跨种族夫妇 | 有罪) = 1/1000
F6：P(驾驶黄色汽车 | 有罪) = 1/10
这对夫妇是跨种族的 驾驶一辆黄色汽车 假设洛杉矶夫妇数目有1625000对。
那这对夫妇有罪概率最可能是哪个？
A.11999999/12000000 B.2999/3000 C.0.002

由于F1与F2是包含关系，就不考虑F1特征；题目中已经说了是跨种族的夫妇抢劫案了，属于冗余信息，不考虑F5。
根据贝叶斯定理：
$P(有罪|F2,F3,F2,F6)=\frac{P(F2|有罪)\ast P(F3|有罪)\ast P(F4|有罪)\ast P(F6|有罪)\ast P(有罪)}{P(F2,F3,F4,F6)}$
现在，我们将逐步进行计算：

1. 计算 P(F2,F3,F4,F6)： 由于这对夫妇是跨种族的且驾驶黄色汽车并符合这些特征的，我们可以假设两两事件是独立的。因此，我们可以使用条件概率的乘法规则计算它们的联合概率：
   P(F2,F3,F4,F6) = P(F2) * P(3)P(F4) * P(6)= (1/10) * (1/10) (1/3)* (1/10) = 1/1000
2. 计算 P(有罪)： 根据题目中的信息，我们没有提供准确的有罪概率，但我们可以利用假设的洛杉矶夫妇数目来近似估计。如果洛杉矶夫妇数目有1625000对，并且他们中只有一个是有罪的，那么有罪概率可以近似为： P(有罪) = 1/1625000
3. 最后，我们可以将上述结果代入贝叶斯定理的公式：
   $P(有罪|F2,F3,F4,F6)=\frac{1/1625000}{1/1000}\approx 0.00184$
   综上所述，这对夫妇有罪的概率最可能是1/1625。因此，答案接近C. 0.002

2、医生发现，患有X病的人几乎都吃过汉堡𝑝(𝐻𝑎𝑚|𝑋)=0.9，而患上X病的概率很低𝑝(𝑋)=1/100000。 假设有一半人吃过汉堡，那吃过汉堡的人患X病的概率最可能为？
A.1.8*10^(-5) B.0.002 C.0.9

我们需要求的是在已知患有X病的人几乎都吃过汉堡和患上X病的概率很低的情况下，吃过汉堡的人患X病的概率。根据贝叶斯定理，我们可以得到：
$P(X|Ham)=\frac{P(Ham|X)P(X)}{P(Ham)}$
其中，P(X)表示患上X病的概率，P(Ham|X)表示在已知患有X病的情况下吃过汉堡的概率，P(Ham)表示吃过汉堡的概率。
由题目可知：P(X)=1/100000，P(Ham|X)=0.9，P(Ham)=0.5
将这些数据代入公式中：
$\begin{array}{rl}& P(X|Ham)=\frac{P(Ham|X)P(X)}{P(Ham)}\\ & =\frac{0.9\times \frac{1}{100000}}{0.5}\\ & =0.0018\\ & =1.8\times 10^{-5}\end{array}$
因此，答案为A. 1.8*10^(-5)。

医生发现，患有X病的人几乎都吃过汉堡𝑝(𝐻𝑎𝑚|𝑋)=0.9，而患上X病的概率很低𝑝(𝑋)=1/100000。 假设很少人吃过汉堡，𝑝(𝐻𝑎𝑚)=0.001。则吃过汉堡的人患X病的概率最可能为？
A.9/1000 B.5/1000 C.1/1000

根据贝叶斯定理：
$P(X|Hamburgers)=\frac{P(Hamburgers|X)P(X)}{P(Hamburgers)}$
其中，P(X) 表示患病的先验概率，即在不考虑其他因素的情况下，一个人患上 X 病的可能性；P(Hamburgers) 表示吃汉堡的先验概率；P(Hamburgers|X) 表示在已知一个人患有 X 病的情况下，他吃过汉堡的条件概率；P(X|Hamburgers) 表示在已知一个人吃过汉堡的情况下，他患有 X 病的后验概率。
将题目中给出的数据带入上式，得到：
$P(X|Hamburgers)=\frac{0.9\times 0.00001}{0.001}=0.009$
因此，答案是 A. 9/1000。

3、警察抵达犯罪现场。受害者死在房间里，旁边还有一把可能是凶器的刀。管家（B）和女仆（M）是检查员的主要嫌疑人，检查员对管家是凶手的先验信念为 0.6，对女仆是凶手的先验信念为 0.2。这些信念在 p(B, M) = p(B)p(M) 的意义上是独立的。 （有可能管家和女仆都谋杀了受害者，也有可能两者都没有）。检查员先前的犯罪知识可以用数学公式表示如下： 𝒅𝒐𝒎(𝑩)=𝒅𝒐𝒎(𝑴)= {𝒎𝒖𝒓𝒅𝒆𝒓𝒆𝒓, 𝒏𝒐𝒕 𝒎𝒖𝒓𝒅𝒆𝒓𝒆𝒓} 𝒅𝒐𝒎(𝑲) = {𝒌𝒏𝒊𝒇𝒆 𝒖𝒔𝒆𝒅, 𝒌𝒏𝒊𝒇𝒆 𝒏𝒐𝒕 𝒖𝒔𝒆𝒅}
p(knife used|B = not murderer, M = not murderer) = 0.3
p(knife used|B = not murderer, M = murderer) = 0.2
p(knife used|B = murderer, M = not murderer) = 0.6
p(knife used|B = murderer, M = murderer) = 0.1 另外
𝑝(𝐾, 𝐵, 𝑀) = 𝑝(𝐾|𝐵, 𝑀)𝑝(𝐵)𝑝(𝑀)。 假设刀是凶器，那么管家是凶手的概率最可能为？ （凶手可能都不是）。 A.0.6 B.0.73 C.0.2

首先说明一个公式P(K,B,M) = P(K|B,M)P(B)P(M)
则管家式凶手的概率计算公式为
$$\begin{gathered} p=\frac{P(K,B,M)+P(K,B,\neg M)}{P(\Delta )} \\ =\frac{P(K,B,M)+P(K,B,\neg M)}{P(K,B,M)+P(K,B,\neg M)+P(K,\neg B,M)+P(K,\neg B,\neg M)}=\frac{P(K|B,M)P(B)P(M)+P(K|B,\neg M)P(B)P(\neg M)}{P(K|B,M)P(B)P(M)+P(K|B,\neg M)P(B)P(\neg M)+P(K|\neg B,M)P(\neg B)P(M)+P(K|\neg B,\neg M)P(\neg B)P(\neg M)} \\ =\frac{0.1\times 0.6\times 0.2+0.6\times 0.6\times 0.8}{0.1\times 0.6\times 0.2+0.6\times 0.6\times 0.8+0.2\times 0.4\times 0.2+0.3\times 0.4\times 0.8} \\ =\frac{0.3}{0.412}\approx 0.73 \end{gathered}$$
因此，答案是B 0.73

4、XOR运算如下表格所示：

C的输出结果与A和B有关，且 ● A⫫𝑩 ● 𝑝(𝐴=1)=0.65 ● 𝑝(𝐵=1)=0.77 𝑝(𝐴=1|𝐶=0)最可能为：
A.0.12 B.0.84 C.0.56

根据题目已知：
P(A=1) = 0.65,P(B=1)=0.77
则P(A=0)= 0.35，P(B=0)=0.23
根据贝叶斯定理，则有：
$P(A=1|C=0)=\frac{P(C=0|A=1)\times P(A=1)}{P(C=0)}$
其中
$$\begin{gathered} P(C=0|A=1)=1-P(C=1|A=1) \\ =1-P(C=1|A=1,B=0)P(B=0)+P(C=1|A=1,B=1)P(B=1) \\ =1-(0.8\times 0.23+0.25\times 0.77) \\ \approx 0.6235 \end{gathered}$$
根据全概率公式
$$\begin{gathered} P(C=0)=1-P(C=1)P(C=1)=P(C=1|A=0,B=0)\times P(A=0)\times P(B=0)+P(C=1|A=0,B=1)\times P(A=0)\times P(B=1)+P(C=1|A=1,B=0)\times P(A=1)\times P(B=0)+P(C=1|A=1,B=1)\times P(A=1)\times P(B=1)=(0.1\times 0.35\times 0.23)+(0.99\times 0.35\times 0.77)+(0.8\times 0.65\times 0.23)+(0.25\times 0.65\times 0.77) \\ \approx 0.47002 \end{gathered}$$
带入以上结果得到
$$\begin{gathered} P(A=1|C=0)=\frac{P(C=0|A=1)}{P(C=0)} \\ =\frac{0.6235\times 0.65}{0.48042} \\ \approx 0.84358 \end{gathered}$$

另外一种求解方法

根据题目含义
P(A=1,C=0) =$\frac{P(A=1,C=0)}{P(A=1,C=0)+P(A=0,C=0)}$
其中
$$\begin{gathered} P(A=1,C=0)={\sum }_{B}P(A=1,B,C=0) \\ ={\sum }_{B}P(C=0|A=1,B)P(B) \\ =P(A=1)(P(C=0|A=1,B=0)P(B=0)+P(C=0|A=1,B=1)P(B=1)) \\ =0.65\times (0.2\times 0.23+0.75\times 0.77) \\ =0.405275 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} P(A=0,C=0)={\sum }_{B}P(A=0,B,C=0) \\ ={\sum }_{B}P(C=0|A=0,B)P(B) \\ =P(A=0)(P(C=0|A=0,B=0)P(B=0)+P(C=0|A=0,B=1)P(B=1)) \\ =0.35\times (0.9\times 0.23+0.01\times 0.77) \\ =0.075145 \end{gathered}$$
带入以上公式
得到
P(A=1,C=0) =$\frac{P(A=1,C=0)}{P(A=1,C=0)+P(A=0,C=0)}=\frac{0.405275}{0.405275+0.075145}\approx 0.8436$

答案，接近B 0.84

5、 一座别墅在过去的 20 年里一共发生过 2 次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫 3 次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为 0.9。 问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率最可能为？
A.0.00058 B.0.9 C.0.0058

我们可以使用贝叶斯定理来计算在狗叫的时候发生入侵的概率。假设事件A表示入侵事件发生，事件B表示狗叫事件发生。
根据题目给出的信息，我们有以下条件概率：
P(B|A) = 0.9，即在入侵事件发生时狗叫的概率为0.9。
P(B) = 3/7
P(A) = 2/(20*365)
我们需要计算的是在狗叫的情况下发生入侵的概率：P(A|B)。
根据贝叶斯定理：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
$=\frac{0.9\ast 2/(20\ast 365)}{3/7}$
= 0.00058