动态规划：09 0-1背包理论基础I

动态规划：09 0-1背包理论基础I

背包问题概述

对于面试的话，其实掌握01背包，和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。

如果这几种背包，分不清，就看下图

leetcode上连多重背包的题目都没有，这就告诉我们，01背包和完全背包就够用了。

而完全背包又是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。

所以后面先通过纯01背包问题，把01背包原理理解清楚，后续再写eetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了。

01背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大

这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是$o(2^n)$，这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

在下面的讲解中，我举一个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少？

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

二维dp数组01背包 五部曲

1. 确定dp数组含义：编号为0-i的物品，任取放入容量为j的背包，最大价值为dp[i][j]

   对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

   

   要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。

2. 确定递归公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[j])

   再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

   不放物品i，最大价值为：dp[i - 1][j]

   放物品i：dp[i - 1][j - weight[i]] + value[j]

3. dp数组初始化：dp[0][j] dp[i][0]

   关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

   首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

   在看其他情况。

   状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

   dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

   那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

   当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

   物品i\容量j	0	1	2	3	4
   0	0	value[0](如果能放的话)	value[0](如果能放的话)	value[0](如果能放的话)	value[0](如果能放的话)
   1	0	max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[j])
   2	0
   3	0
   4	0

   dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

   其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

   初始-1，初始-2，初始100，都可以！

   但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

4. 遍历顺序：二维数组的话，先遍历背包或先遍历物品都可以

   dp[i][j] = max(dp[i - 1]\j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

   dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向）

5. debug：打印dp数组

题目与代码

题目

输入

第一行包含两个正整数，第一个整数 M 代表研究材料的种类，第二个正整数 N，代表小明的行李空间。

第二行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的所占空间。

第三行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的价值。

输出

输出一个整数，代表小明能够携带的研究材料的最大价值。

样例输入

6 1
2 2 3 1 5 2
2 3 1 5 4 3
1
2
3

样例输出

5
1

代码

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main{
    public static void main(String... args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int M;
        int bagSize;
        M = scanner.nextInt();
        bagSize = scanner.nextInt();

//        System.out.println("M:" + M +" bagSize:" + bagSize);

        int[] weight = new int[M];
        int[] value = new int[M];
        for(int i = 0; i < M; i++) {
            weight[i] = scanner.nextInt();
        }
//        System.out.println("weight数组：" + Arrays.toString(weight));

        for(int i = 0; i < M; i++) {
            value[i] = scanner.nextInt();
        }
//        System.out.println("value数组：" + Arrays.toString(value));

        int res = testWeightBagProblem(weight, value, bagSize);
        System.out.println(res);
    }

    public static int testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize) {
        int[][] dp = new int[weight.length][bagSize + 1];
        //初始化dp数组，第一列默认值就是0
        for(int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
            dp[0][j] = value[0];
        }

        for(int i = 1; i < weight.length; i++) {
            for(int j = 1; j <= bagSize; j++) {
                if(j < weight[i]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], (dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]));
                }
            }
        }

//        testAndVerify(dp);

        return dp[weight.length - 1][bagSize];
    }

    public static void testAndVerify(int[][] dp){
        //验证dp数组
        System.out.println(Arrays.deepToString(dp));
    }
}
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总结

这里其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在如何初始化和遍历顺序上。